例谈概念性变式与过程性变式

周丹莉

摘要：本文从数学教学的角度简要地介绍了变式教学的主要教学模式，从概念性变式及过程性变式两个方面展开。以中学数学课堂教学实例，说明概念性变式与过程性变式，以期将变式教学理论与实际教学进一步结合，发挥理论对实践的指导作用，提高课堂有效性。

关键词：变式教学;概念性变式;过程性变式

中图分类号：G633.6  文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2018）10-0102

一、变式教学

变式教学是促进课堂教学有效性的重要方式，在课堂教学中，主要表现为概念性变式和过程性变式这两类模式，明晰变式教学的两种模式对变式教学大有裨益。

二、变式教学主要教学模式

1. 概念性变式

概念性变式就是在概念教学中使用变式，它是针对相对独立、静态的数学对象进行的，通过变换其非本质属性或本质属性，旨在揭示该对象的本质，明晰该概念的外延。概念性变式可分为两类：概念变式与非概念变式。

（1）概念变式

它是将概念外延所包含的对象作为变式，其特点是保持本质属性不变，变换概念的某些非本质属性，通过类化不同变式的共同属性来突出概念的本质属性。

例如，在学习“三角形的高”时，有经验的教师往往会分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的高（如图1-1、1-2、1-3），又将这些三角形的位置稍加变换，同样做出它们的高。学生通过观察、比较这一组图形后，容易发现三角形高的一些共同特征（如经过三角形的一个顶点，垂直于该顶点所对的边）。这种概念变式就是通过变换数学概念中的某些非本质属性（如三角形的类别和三角形的放置位置），突出该概念的本质属性，从而使学生领悟该概念的实质。

（2）非概念变式

非概念变式是将不属于概念外延集合的对象作为变式，其特点是变换概念中的本质属性，但又与概念有某些共同的非本质属性。

同样以三角形高的概念为例。在完成了上述的概念变式后，也许部分学生还不能完整领悟到三角形的高即是经过三角形的一个顶点，并垂直于该顶点的对边所在的直线。此时，若再加入一组图形，让学生与之前的图1-1-1-5进行对比分析，就能很直观地分辩出三角形高概念中的各本质属性。

2. 过程性变式

过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。它在教学中主要用于概念的形成、问题解决和构建活动经验系统。

（1）概念形成的过程性变式

每个数学概念都有形成过程，概念形成中的过程性变式常表现为具体的操作。例如，带余数除法的教学，从实际问题出发，将除法看做分豆子。学生先动手在盘子里分豆子，这是实物操作;熟悉前一过程之后接着在脑海中分豆子，这是意象操作;领悟了带余数除法的含义后就能抛开实物与脑中分豆子的过程，直接进行相关的算式运算，这是符号操作或抽象操作。学生经历了从具体到半具体再到抽象的过程，在三种不同的操作中亲身感受到有余数除法、余数的意义，从而掌握了带余数除法。

（2）问题解决的过程性变式

问题解决中过程性变式主要有以下两种模式：

①未知问题与已知问题往往没有直接联系，这就需要设置一些过程性变式在两者之间进行适当铺垫，作为化归的台阶，从而使未知问题顺利地化归为已有知识而得到解决。

②原问题用已有知识难于解决，涉及了多种技巧与步骤，解题方法较为曲折。此时，可将原问题分解为一些子问题，先解决较简单而又体现了原问题解决思路的子问题，再将各子问题重组，从而顺利解决原问题。这里的子问题同样可看做过程性变式。

三、概念性变式与过程性变式的关系

根据数学教育心理学及认知理论，数学概念具有双重性，它们既表现为一种对象结构，又表現为一种过程操作。例如：函数可以代表特定的对应结构，如在习题中常出现求解f（x），此时它是作为对象的;同时它又可以表示按对应法则将定义域中的元素与值域中的元素相对应的过程，此时它具有操作性、动态的过程。

概念性变式和过程性变式分别促进了数学学习对象两个侧面的发展。一方面，概念性变式教学有助于揭示概念的本质属性，界定概念的外延，即学习对象的结构特征;另一方面，过程性变式教学有助于学生建立前后知识的内在合理联系，优化知识网络结构;提高解决问题的能力并积累丰富的数学活动经验，即学习对象的过程操作特征。两种变式策略结合起来，相辅相成，共同促进教学的有效性及学生的理解掌握。

（作者单位：贵州省贵阳市第九中学 550001）