基于问题驱动的单元教学实践与反思——以“一元二次方程起始课”教学为例

☉江苏省海安县曲塘中学附属初级中学 戴 路

“单元教学”是近年初中数学课堂教学研究的一个热点方向.这种教学模式倡导打破教材的顺序，基于数学知识的内在逻辑联系，将教学内容重组，由一个恰当的问题引入新课，并延伸、串联起多个小节内的教学内容.笔者近期有机会执教一元二次方程第1课时的研究课，基于单元教学的设计理念，达到了较好的教学效果.本文梳理该课几个重要的教学片断，并跟进教学思考，提供研讨.

一、一元二次方程起始课的教学片断

教学片断1：从实际问题引入课题，培养数学意识，激发研究兴趣.

师：同学们，老师有这样一个问题（由课本引例中的数据改编而成）：如何用一张长16cm、宽12cm的硬纸片做成一个没有盖的长方体盒子？

学生思考一会后.

师：拿出一个做好的无盖长方体盒子，展开……

（分析：给孩子们呈现了一个逆向思维的过程，引导学生思考）

生：可以将这个长方形纸片的四个角各截去一个一模一样的正方形.

师：很棒！那再思考一下，这样的方法可以做出多少个无盖长方体盒子？

生：无数个.

师：现在给这个题目一个附加条件：做成的无盖长方体盒子的底面积为96平方厘米，那么这个长方体纸盒能确定吗？（小组讨论交流）

生：我们可以根据这个长方形纸盒的面积总和是16×12，列个方程，设减去的正方形的边长为x.

师：还有其他方法吗？

生：依据长方体纸盒的面积为96，可以列个方程.

师：你具体说一下.

生：设减去的正方形的边长为x，则（16-2x）（12-2x）＝96.

师：这个方程你们会化简吗？试试.

生：……

（一系列化简后得到方程x2-14x+24=0）

说明：这个教学片断是开课阶段的情景导入，为的是引入一元二次方程的概念，同时也是为了关联前后教学环节，也是基于“问题驱动”的教学设计理念而精选的生活情境.具体的说，在这样一个生活现实问题的解决过程中，列出一元二次方程后就需要学习解法，学习解法求出方程的两个根之后，需要回代问题情境进行检验、取舍.

教学片断2：在熟悉一元二次方程的二次项、一次项系数以后，得到以下三个方程：

①x2-4=0；②3x2-5x=0；③x2-2x-15=0.

师：同学们，如果让你们选择一个方程来解，你们选哪一个？

生：第一个.

师：请一位同学来解.

生1：上台板演如下：

（x+2）（x-2）=0，

x+2=0或x-2=0，

所以x1=-2，x2=2.

师：这是什么方法？

生：因式分解.

师：你们还有其他方法吗？

生2上台板演如下：

x2=4，

x=±2，

所以x1=2，x2=-2.

师：这样的方法我们把它叫做“直接开方法”（教师板书）.

追问：直接开平方法，方程两边有什么特点？

生：左边应该是一个数的平方.

师：是不是这样的形式：x2=a？a有条件限制吗？

生：a≥0.

师：第③个方程x2-2x-15=0能用直接开方法吗？如果能要怎么处理？

生：将左边进行配方.

师：刚才这位同学提到了一个关键词，是什么？

生：配方.

师：你来试试.

生：……

师：刚才这位同学用配方法解出了方程的解，实现了配方法向直接开方法的转化.（黑板上用箭头指向，写出“转化”二字）

说明：这个片断主要是对一元二次方程解法的探究，这个问题的引入非常自然，由上一个问题出发，先让学生选择最简单的x2-4=0入手，运用已经学过的开平方的知识，学生能够自己动手解决今天的新知，巧妙自然！进一步追问，还有学生用因式分解的方法解答，予以肯定.思维的高潮部分，是对第③个方程x2-2x-15=0的探究，再次追问：直接开方法的理论依据是什么？此题能否用直接开方法，让学生深入思考.在层层追问中，将新旧知识贯穿始终，培养学生的自主能力.

教学片断3：课堂小结.

（1）我们是如何得到一元二次方程及其解法的？

（2）在学习的过程中体会到哪些重要的学习方法或经验？

生1：由做长方体纸盒为问题引入一元二次方程，对比我们之前学习的一元一次方程，得到一元二次方程的定义.

师：一元一次方程和一元二次方程最大的不同在哪里？

生2：它们未知数的次数不同.

师：从一元一次方程到一元二次方程，实现了“增次”.再看具体的解法，有哪些？

生3：直接开方法、配方法、因式分解法、公式法等.

师：这几个方法其实都是在将二次向一次转化，我们称为“降次”.其中，直接开方法的依据是什么？

生4：平方根的意义.

师：因式分解过程中，最后化简成类似ab=0，得到a=0或b=0，也是将我们已经学过的知识运用到今天的解方程中.大家都掌握这些方法了吗？那我们再回到引入中的实际问题，动手去解一解方程x2-14x+24=0.

生：老师，解出两个结果，x1=12，x2=2.

师：两个结果都保留吗？

生：舍去12，纸片的宽就是12，不符合题意.

师：非常好！一元二次方程确实有两个实数解，但是对应到问题情境，还要检验是否符合要求.后面我们还会遇到类似的问题，也将系统研究一些一元二次方程能解决的实际问题.

说明：这里的课堂小结追求的是将全课内容进行知识的梳理、串珠成线，同时又将全章要研究的一些大致脉络有所呈现，使学生初步知晓全章研究的路径，起到一个“导览”的作用.

二、关于单元教学的实践反思

1.站在全章的高度，选编教学内容，开展单元教学

开展单元教学，特别是全章的起始教学，首先要深刻理解全章教学内容，想清本章教学内容的主干知识是什么，哪些是旁枝内容，哪些是关联多个小节多个单元，甚至“联通”全章的内容？多思考这些问题，就可以站在全章的高度，恰当重组教学内容，削枝强干，开展单元教学.从上文课例来看，正是由于想清了本章主干知识是一元二次方程的解法，而情境问题既可作为引入一元二次方程的数学现实，也可作为最后一个单元教学时的问题解决的情境，所以我们在起始课时也关注了情境问题，但课堂用时并不多，主要精力还是在一元二次方程的解法上.

2.基于学生的基础，依赖学生经验，渐次展开新课

由于重组了教学内容，为了不让这些教学内容“突然”出现在学生面前，在备课时认真思考学生的基础，立足学生最近发展区，依赖学生已有的经验（知识上，研究方法上等），使学生主动发现新知、归纳新知，有序展开新课的内容.在这个教学过程中，学生的基础俨然十分重要，学生研究本课内容所具有的“套路意识”也很关键.顺便提及，不少专家教师在借班上课前的几分钟常常要跟学生进行一些“课前聊聊”，往往也是在“检测”学生对一些基本的“研究套路”是否具备.

3.预设开放式问题，注重对话互动，追求开放教学

单元教学常常与开放式教学“相伴而行”，就像本文课例中用一个纸片折成长方体盒子问题引入新课，在开放式设问的基础上，增加强化条件，生成一元二次方程的定义，再到几个特殊的一元二次方程，让学生有不同解法实现求解之后，感悟出求解一元二次方程时转化策略——降次，而降次可以使用直接开方法，也可以通过因式分解来实现，由于教者对这些内容有了深刻理解，就可以在教学过程中与学生对话和互动，这样也就追求了开放的数学教学.

三、写在后面

就笔者所见，目前初中数学教学研究领域，单元教学的主要倡导者是全国著名特级教师李庾南老师及她的研究团队.而单元教学的课例研究目前还未丰富起来，我们期待着更多的同行能务实研修，重视单元教学的课例设计与教后反思.

1.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013（7）.

2.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

3.符永平，罗增儒.一元二次方程章头图导学课例与互动点评［J］.中学数学教学参考（中），2008（11）.

4.仇锦华.从数学整体观看单元教学［J］.中学数学教学参考（中），2015（11）.H