基于“课标要求”的“用字母表示数”课例及分析

☉浙江宁波市宁波大学附属学校 叶元剑

一、背景介绍

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中课程内容的教学要求（以下简称“课标要求”）是课堂教学活动的指南，也是教学评价的尺度和标准.但在以浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第四章第1节“用字母表示数”为载体的“多人同课异构”式的研修活动中发现，课堂教学普遍与“课标要求”存在较大偏差.网上查阅同类课例发现也有类似的现象.鉴于此，笔者在重复式观课与反思基础上，对该课的教学进行重建，改进后的教学过程与效果得到了同仁的认可.现将其整理出来，以飨读者.

二、教学实录

环节1：经历回顾并提出问题的过程——明确研究问题.

师：在小学，我们学过用数表示具体的量，知道数能简明地表示不同意义的量和数量关系，并且数可以参与运算，能给研究数学和解决问题带来方便.在小学，我们也学过用字母表示数.例如，用字母表示未知量，用字母表示圆的面积公式：S=πr2，用字母表示路程、时间、速度的关系：S=vt，用字母表示加法交换律：a+b=b+a……用字母表示数有何意义？本节课就来研究这个问题.（揭示课题）

环节2：经历产生含有字母的式子的过程——渗透用字母表示数的意义.

师：中国工程院院士袁隆平研究的超级杂交水稻，以单季亩产1138kg创世界纪录.问：

（1）若某人种3亩这样的水稻，总产量是多少？你是怎样计算的？

（2）若某人种10亩这样的水稻，总产量是多少？你是怎样计算的？

（3）一般地，可以提出怎样的问题？

师（稍停顿后）：谁来解答（1）？

生1：因为总产量＝亩产×种植亩数，所以种3亩这样水稻的总产量=1138×3=3414（kg）.

师：好的.你用的是从一般到特殊的思想.谁来解答（2）？

生2：因为总产量＝亩产×种植亩数，所以种10亩这样水稻的总产量=1138×10=11380（kg）.

师：好的.谁来解答（3）？

生3：若某人种n亩这样的水稻，总产量是多少？

师：不错.类似地，能计算种n亩这样水稻的总产量吗？

生3：因为总产量＝亩产×种植亩数，所以种n亩这样水稻的总产量=1138×n（kg）.

师：这里“1138×n”表示什么？

生3：它表示种n亩这样水稻的总产量.

生4：它表示计算种这样水稻的总产量的式子.

生5：当n取不同数时，它表示一个会变化的数值.

师：了不起！能给“1138×n”作出多种解释.它是算式“1138×3，1138×10……”的抽象概括，一般化地、简明地表达了种这样水稻的总产量与亩产及种植亩数的关系，其数学意义是1138与n的乘法运算，其实际意义是种n亩这样水稻的总产量.

师：为何1138与表示种植亩数的n可以一起参与运算？

生6：因为数可以参与运算，而n表示数，所以1138与表示数的n可以一起参与运算.

师：有道理.字母和数一样可以参与运算.但数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“·”来代替.数和字母相乘，在省略乘号时，要把数写在字母的前面.例如，1138×n可以写成1138n或1138·n，但不能写成n1138.

师：奶粉每罐200元，橘子每千克6元.问：

（1）若买2罐奶粉和3千克橘子，则共需多少元？

（2）若买3罐奶粉和5千克橘子，则共需多少元？

（3）一般地，可以提出怎样的问题？

师（稍停顿后）：谁来解答（1）？

生7：因为购买物品的应付款＝物品的价格×购买物品的数量，所以买2罐奶粉和3千克橘子的应付款=200×2+6×3=400+18=418（元）.

师：好的.你用的是从一般到特殊的思想.谁来解答（2）？

生8：买3罐奶粉和5千克橘子的应付款＝200×3+6×5=600+30=630（元）.

师：不错.谁来解答（3）？

生9：若买a罐奶粉和b千克橘子，则共需多少元？

师：不错.类似地，能计算买a罐奶粉和b千克橘子共需多少元吗？

生9：买a罐奶粉和b千克橘子共需（200a+6b）元.

师：你不但计算正确，而且书写规范.用字母表示数的结果是加减运算时，如有单位，要将式子用括号括起来.

师：这里“200a+6b”表示什么？

生10：它表示买a罐奶粉和b千克橘子所需要的钱数，也表示200×a+6×b.

生11：当a、b取不同数时，它表示一个会变化的数值.

师：不错.它是算式“200×2+6×3，200×3+6×5……”的抽象概括，一般化地、简明地表达了应付款与奶粉的价格、购买量及橘子的价格、购买量的关系，其数学意义是200×a+6×b，其实际意义是买a罐奶粉和b千克橘子所需要的钱数.

师：长方体的体积=长方体的长×长方体的宽×长方体的高.问：

（1）若一个长方体包装盒的长是70cm，宽是50cm，高是30cm，则它的体积是多少？

（2）若一个长方体包装盒的长是90cm，宽是60cm，高是20cm，则它的体积是多少？

（3）一般地，可以提出怎样的问题？

师（稍停顿后）：谁来解答（1）？

生12：因为长方体的体积＝长×宽×高，所以它的体积=70×50×30=105000（cm3）.

师：你运用了从一般到特殊的思想.谁来解答（2）？

生13：因为长方体的体积＝长×宽×高，所以它的体积=90×60×20=108000（cm3）.

师：好的.谁来解答（3）？

生14：若一个长方体的长是acm，宽是bcm，高是ccm，则它的体积是多少？

师：它的体积是多少？

生14：它的体积是abccm3.

师：这里“abc”表示什么？

生15：它表示长方体的体积，也表示a×b×c.

生16：当a、b、c取不同数时，它表示一个会变化的数值.

师：好的.它是算式“70×50×30，90×60×20……”的抽象概括，一般化地、简明地表达了长方体的体积与其长、宽、高的关系，其数学意义是a×b×c，其几何意义是长为acm、宽为bcm、高为ccm的长方体的体积.

环节3：参与用字母表示数的活动——体验用字母表示数的意义.

师：下面请大家依次回答下列问题.

问题1：下列表述中，字母表示什么？

（1）正方形的面积为a2.

（2）七年级（1）班有男生20人，全班共有（20+a）名同学.

（3）买20千克西瓜需20s元.

（4）底面积为50cm2的长方体的体积为100hcm3.

师（稍停顿后）：谁来回答这个问题？

生17：（1）中的a表示正方形的边长；（2）中的a表示七年级（1）班的女生人数；（3）中的s表示西瓜的价格；（4）中的h表示长方体的高.

师：恭喜你，全对！一般地，表示数的字母可以表示什么？

生17：表示数的字母可以表示不同意义的量.

师：不错.你运用了归纳思想.字母可以表示不同意义的量，还可以一般化地表示数.

问题2：（1）若长方形的长是a米，宽是3米，则它的面积是多少？周长是多少？

（2）若小明每小时走v千米，则1.5v表示什么？tv表示什么？

（3）若练习簿的单价为a元，则100本练习簿的总价是多少？

（4）某产品前年产量是n件，去年产量是前年产量的m倍，则去年产量是多少？

师（稍停顿后）：谁来回答？

生18：（1）它的面积是3a平方米，它的周长是2（a+3）米；（2）1.5v表示小明走1.5小时的路程，tv表示小明走t小时的路程；（3）100本练习簿的总价是100a元；（4）去年产量是nm件.

师：太好了，能脱口而出.一般地，含有字母的式子能表示什么？

生18：含有字母的式子能一般化地、简明地表示数和数量关系.

师：好的.含有字母的式子还表示某些运算.

问题3：字母还可以表示数学规律.例如，加法交换律：a+b=b+a；乘法结合律：（ab）c=a（bc）；等.能再举几个用字母表示数学规律的例子吗？

生19：数a的相反数可用-a表示，数a（a≠0）的倒数可用表示.

生20：分配律可用a（b+c）=ab+ac表示，数a的立方根可用表示.

……

师：这说明含有字母的式子还能一般化地、简明地表示数学规律.

环节4：参与回顾与思考的活动——内化用字母表示数的意义.

师：由于字母可以表示不同意义的量，所以含有字母的式子可以有多种解释.能赋予“3a”不同的意义吗？请大家给出尽可能多的解释.

生21：3a表示3×a，当a取不同数时，3a是一个会变化的数值.

生22：a可以表示数量，如葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额.

生23：a可以表示长度，如一个正三角形的边长为a千米/时，3a表示这个正三角形的周长.

生24：a可以表示速度，如一个人行走的速度为a，3a表示这个人走3小时的路程.

……

师：了不起！能从数学意义、实际意义、几何意义、物理意义等角度，赋予“3a”不同的意义.这进一步说明表示数的字母可以表示不同意义的量，表示数的字母可以与数一起参与运算，含有字母的式子能一般化地、简明地表示数、数量关系和数学规律，并且同一个含有字母的式子具有不同的意义，即一个含有字母的式子可以看成许多实际问题的数学抽象.课后请大家继续赋予“”

不同的意义.评价标准：给出2种解释为合格，给出4种解释为良好，能至少给出5种解释为优秀.

三、教学分析

从具体的量过渡到抽象的数，这是数学发展史中的第一次飞跃；从具体的数过渡到用字母表示数，并与数一起参与运算，这是数学发展史中的又一次飞跃.尽管学生在小学阶段接触过用字母表示数，但学生在小学阶段对用字母表示数的意义的认识是非常肤浅的.“用字母表示数”的“课标要求”是“理解用字母表示数的意义”.这条课程目标可以分解为：能知道表示数的字母和数一样可以表示不同意义的量，表示数的字母可以与数一起参与运算；能知道含有字母的式子与相应算式的关系，表示数的字母可以取不同的数，当字母取不同的数时，其相应的含有字母的式子表示一个会变化的数值；能知道含有字母的式子能一般化地、简明地表示数、数量关系和数学规律；能体验含有字母的式子可以从数学意义和实际意义的角度作出多种解释；能体验用字母表示数能给研究数学和解决问题带来方便.但目前许多教师对“理解用字母表示数的意义”的理解没有达到一定的“深度”，导致该课的实践方式达不到“理解用字母表示数的意义”的要求.例如，在“产生含有字母的式子”的教学中，有些教师只用单一的情景直接列出含有字母的式子，并且列出含有字母的式子之后反思过程缺失，导致失去了学生感悟从特殊到一般思想、数学抽象思想、函数思想等的机会，也没有渗透用字母表示数的意义.在“用字母表示数”的教学中，大多数教师只要求学生回答给定的问题，而没有回答问题之后的“举三反一”的抽象概括过程，导致学生对用字母表示数的意义的理解没有达到一定的“深度”.在“回顾与思考”的教学中，大多数教师没有引导学生经历“举一反三”解释含有字母的式子的过程，导致失去了发展学生发散性思维能力的机会，也不能满足学生体验含有字母的式子的意义的需要.

本课例在“精致化”分析基础上，将其教学立意定位于“体验意义、感悟思想、积累经验”，并以有价值的题材为载体，从学生已有的知识与经验出发，运用从特殊到一般、从具体到抽象的思维策略和教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，引导学生经历了完整的认知过程.在“回顾并提出问题”的教学中，既有回顾用数表示量的意义和列举小学用字母表示数的例子，以激活新知识的“生长点”，又有提出问题的过程，以建立新旧知识的内在联系和激发学生的学习兴趣.在“产生含有字母的式子”的教学中，既有从列算式到列含有字母的式子的过程，以产生含有字母的式子，又有产生含有字母的式子之后的反思，以获得用字母表示数的一些事实.在“用字母表示数”的教学中，既有学生自主思考基础上的交流，以明确给定问题的答案，又有解答问题之后的“举三反一”的抽象概括，以进一步明确表示数的字母可以表示不同意义的量，含有字母的式子能一般地、简明地表示数、数量关系和数学规律.在“回顾与思考”的教学中，既有引导学生“举一反三”解释含有字母的式子的意义的过程，以明确一个含有字母的式子具有数学意义、实际意义、物理意义、几何意义等，又有教师总结性讲解，以进一步显化用字母表示数的意义和感悟其中所蕴含的数学思想.

参与研修的教师普遍认为，本节课遵循了体验学习的基本规范，体现了过程教育和以学为中心的思想，能实现“理解用字母表示数的意义”的课程目标.因此，一般地，实现过程性目标要经历“渗透、显化、强化、内化”的过程，并要把教学的侧重点放在“产生对象”和“解决问题”之后的反思上，以帮助学生体验对象的意义、感悟所蕴含的数学思想、体会对象从哪里来和往何处去等.

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.范良火.义务教育教科书·数学（七年级上册）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.