基于“数学核心素养”的课时创新解读与整体设计*——以苏科版八上“6.2一次函数之正比例函数”为例

☉江苏省无锡市新吴区教师发展中心 浦叙德

一、提出问题

前段时间担任某区骨干教师招聘的评委时，要求一位担任多年初三教学的数学骨干教师谈谈对“用一元一次方程解决问题（1）”这一课时的教材认识，本以为该教师会谈到“一元一次方程是初中方程知识体系的起始章，它为后面学习的系列方程不仅提供了知识基础，更提供了重要的数学思想和学习方法；而用一元一次方程解决问题是建立方程模型运用方程知识解决实际问题的奠基工程.”然而该教师的回答是：“因为用一元一次方程解决问题在初三中考中几乎不考，所以觉得这一课时也没有特别重要的作用”.显然这样的认识等同于初三中等学生的水平，令人非常的震惊.联想到部分初三学生在新课学习时往往成绩比较优秀，而从第一轮中考复习开始，成绩明显退步的现象，不得不思考这样的问题：究竟是什么原因让教学这么多年的老师对数学的认识只停留在知识的显性与局部层面，而没有形成数学思想方法的隐性与整体性认识呢？如果对数学的认识只停留在知识的显性与局部层面，那么，作为学生终身发展必须的思维品质和关键能力等具有整体性的数学学科核心素养将成为空中楼阁.

二、原因分析

现行的苏科版初中数学教材按照“代数、几何、统计、概率”数学知识的发展体系从简单到复杂、螺旋上升进行编排，四个板块按先后顺序交叉呈现；代数板块按照“数、式、方程、不等式、函数”依次呈现，相互关联、逐级提升；每一课时按照这一课时所要学的显性知识为基本逻辑框架呈现.这样编排把微观（点）、中观（线）、宏观（面）进行了有机结合.我们还知道，数学知识是相互联系形成结构，虽然每一章、每一课时是局部呈现，纵横交错，但局部之间有章可循，整体联系.就像初中代数中的方程体系，按照“一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程、一元二次方程”体现关联和结构；再拿一元一次方程来看，按照“一元一次方程的定义、解法，用一元一次方程解决问题”的逻辑顺序体现关联和结构.可以说，这样围绕数学知识内部逻辑结构的“点线面”编写体系特点，既有利于课时教学的实施，又有利于形成初中数学的整体认识.

现行的课堂教学是按照教材的课时编排来实施，按照点、线、面逐步达成课时目标、单元目标、学段目标、课程目标，这样的教学符合学生的认知规律.如果仅按照教材中课时显性知识为核心进行教学，师生认识就会停留在数学中微观的“点”上.要使师生对数学有中观宏观的“线面”形成整体认识，教学必须“以课时内容”为圆心，围绕此圆心前后左右联系地教、整体地教，才能有学生联系地学、整体地学，才能把每一课时学习穿“点”成“线”连成“面”，使学生对整个数学形成整体认识，提高关键能力，从而达成数学核心素养的目标.

从以上叙述可以看出，教材编写的整体性与课时教学的局部性是现实中无法回避的矛盾，它也是师生能否形成对数学整体认识，进而培养学生数学核心素养的关键.如果教师能够形成“在整体框架中全面认识局部，在局部教学中处处关联整体”的教学意识，相信数学核心素养的养成必定会落到实处.下面以苏科版“6.2一次函数之正比例函数”为例，基于数学核心素养视角，谈谈对这一课时的创新解读.

三、创新解读

在苏科版现有教材中要找一课时不仅可以说明“在整体框架中全面认识局部，在局部教学中处处关联整体”的例子不是很容易.而苏科版“正比例函数”这个内容，可以作为一个典型的案例.教材中“正比例函数”是作为特殊情形包含在“一次函数”这一课时的，但我们可以把“正比例函数”从“一次函数”这一课时中分离出来，把它作为一个完整的课时来创新解读，事实上，人教版教材就是把“正比例函数”作为单独一课时来呈现的，这就说明这样的认识不仅可行，而且必要.

我们知道，初中函数知识板块包括一般函数与特殊函数（正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数）两大块.在初中函数起始章“第6章一次函数”的“6.1函数”中，分几课时分别介绍函数的定义、函数的表示方法、函数的图像及其性质、函数的应用等，这为正比例函数的整体认识打下了基础.从“一般函数”到“正比例函数、一次函数”是从一般到特殊，而学完了“正比例函数”再利用类比与对比学“一次函数”，又是从特殊到一般，正好完成了“从一般到特殊，又从特殊走向一般”的认知循环.从特殊的正比例函数学到的具体的函数知识、思想、方法可以直接服务于学习相对正比例函数来说是一般的一次函数，同时又为后面的反比例函数、二次函数的对比类比学习奠基.

正比例函数是最简单、最特殊的函数，在一般函数知识学习的基础上，把正比例函数这个局部知识利用一课时作为整体来教学完全可行.具体可以从正比例函数的定义抽象研究出发，从数的角度研究自变量的取值范围、函数值、函数表达式、待定系数法；再从“形”的角度研究函数的图像；接着利用数形结合获得其性质；最后利用正比例函数的定义、图像、性质解决数学问题和实际问题，整体框架性设计如下.

四、整体设计

1.关于定义的设计

问题：（1）已知数b是数a的3倍，如何用数学方式来表达？数a与数b之间成什么关系？

（2）已知汽车以100km/h的速度匀速行驶，汽车行驶的时间为t（h），汽车行驶的路程为y（km），怎样表示y与t的关系？它们是函数关系吗？

（3）已知长方形的长为b，宽为a，长是宽的5倍，怎样表示b与a的关系？它们是函数关系吗？

（4）上述问题（2）与（3）构成的函数有什么共同特点？请你给这类函数起个名称.

（5）一般地，符合什么形式的函数叫做“正比例函数”？它的函数表达式怎样表示？自变量的取值范围如何？

设计意图：问题（1）主要是回顾小学里学过的“正比例”关系，“想前”的目的是为问题（4）“正比例函数”的名称奠基；在6.1函数中已经学习了函数的定义，问题（2）与（3）主要是从“变化”的函数视角看问题，说明两个变量之间构成函数；问题（4）与（5）主要是归纳与抽象“正比例函数”的定义，函数表达式为y=kx（k≠0），自变量x的取值范围为一切实数.

2.关于图像与性质的设计

（2）通过对上述图像的观察进行归纳，由此得出正比例函数y=kx有什么性质？

设计意图：在6.1函数中，已经介绍了函数的图像，问题（1）主要是通过列表、描点、连线的方法画图像，并进一步强调画函数图像的步骤，从而得出y=kx是经过原点（0，0）的一条直线，可以通过（0，0），（1，k）来画最为简单，通过k＜0与k＞0的分类讨论，归纳正比例函数的增减性质及图像所在象限.

3.关于解析式的设计

问题：（1）在y=3x中，当x=2时，y=？当y=2时，x=？

（2）在正比例函数y=kx中，当x=2时，y=6，求这个正比例函数的表达式.

（3）在正比例函数的图像上有一点（2，6），求这个正比例函数的表达式.

设计意图：在6.1函数中已经学习了自变量取值与函数值，问题（1）与（2）是从“数”的角度认识正比例函数、函数值、函数表达式；问题（3）是从“形”的角度利用“待定系数法”求函数表达式.

4.关于解决问题的设计

问题：（1）正方形的周长为L，边长为x，用函数表达式表示两个变量之间的关系，并指出构成的是什么函数？

（2）高速列车以300km/h的速度驶离A站，求列车行驶的路程y（km）与行驶的时间t（h）之间的函数表达式，并画出该函数的图像.

设计意图：学以致用是数学学习的主要目的之一，正比例函数跟一般函数一样，从生活中来，到生活中去，问题（1）主要是在生活问题中强化正比例函数的定义，问题（2）在强调定义和图像的同时，让学生明白实际问题的函数图像需要同步考虑自变量取值范围的变化，进而影响到图像.

五、后续思考

正比例函数这一课时的内容，正好是在前面分几课时学习了“一般函数”所有知识基础上，从一般走向特殊的一种情况，从局部来看可以看成是一个微观“点”，它是最特殊、最简单的函数，从整体来看，它又可以通过一课时完成“从生活问题出发——抽象出正比例函数的定义——研究函数表达式——研究函数图像——研究函数性质——回归到生活问题”完整知识链，而后面在特殊的正比例函数基础上的一般的一次函数、反比例函数、二次函数，都必须分几课时方能完整学习.在整个初中阶段数学四大板块中能够用一课时完成整体性认识的内容少之又少，绝大部分内容都是分几个课时才能有一条完整的知识线或整体的知识结构，这就是师生学完局部内容后缺乏整体认识的根本原因.

数学核心素养是着眼于学生未来与长远的思维品质与关键能力，数学教学的问题性、过程性、整体性是数学核心素养培养的必由之路.如何能够在每一课时的局部认识中提高整体认识？这就要求我们数学教师在解读教材、教学设计、课堂实践的时候，每一堂新授课都要找到知识的源头及走向，即按照“知识从哪里来，知识怎么形成，知识向哪里去”的整体思路去构建课堂框架，每一堂复习课都要注重知识的前后关联，即按照“点联成线，线联成面”的逻辑发展去构建知识体系.如果我们的教学能做到显性的知识“在整体框架中全面认识局部，在局部教学中处处关联整体”，并且不断迁移隐性的数学思想和方法，那么，数学学科核心素养落到实处就指日可待.

1.浦叙德，谢洁红.从知识整体性视角设计主问题引领课堂教学［J］.中学数学（下），2014（8）.

2.浦叙德.初中代数“用…解决问题”课时的解读与设计——以苏科版教材七（下）“11.5用一元一次不等式解决问题（1）”为例［J］.中学数学（下），2016（7）.

3.浦叙德.初中数学教材解读的几个视角［J］.中学数学教学参考（中），2016（11）.

4.浦叙德.数学课堂教学：基于教材解读，成于教学设计［J］.教育研究与评论，2017（1）.H