具体函数条件下的函数不等式问题

云南省玉溪第一中学(653100) 武增明

函数不等式是指带有函数符号“f”的不等式.具体函数条件下的函数不等式问题,往往具有灵活性、技巧性、综合性、隐蔽性等特点,加之解决这类问题时,要求学生基础知识扎实,综合应用数学知识解决问题的能力比较高.因此,大多数学生在解决这类问题时,感到束手无策,无所适从.为此,笔者以近几年高考试卷和竞赛试卷以及复习资料中出现的、一类典型的具体函数条件下的函数不等式问题为例,认真分析和总结了几种解决这一类问题的常用方法,以期对大家有所帮助.

1.f(△)±f(∇)＞ 0型

解函数不等式,要想方设法把隐性化为显性的不等式求解.这需要做好两件事:一是利用函数的奇偶性把原不等式转化为f(△)＞f(∇)的模型;二是要判断函数f(x)的单调性.然后,根据函数的单调性将函数不等式中的函数符号“f”去掉,得到具体的不等式(组)来求解.

例1 (2017年高考江苏卷第11题)已知函数f(x)=,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.

解析 因为函数f(x)的定义域为R,所以函数f(x)的定义域关于原点对称;又由f(x)=,得f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),故f(x)是R上的奇函数.因为

当且仅当x=0时等号成立,所以函数f(x)在其定义域R内单调递增.从而不等式

f(a-1)+f(2a2)≤0⇔f(a-1)≤-f(2a2)

⇔f(a-1)≤f(-2a2)⇔a-1≤-2a2⇔-1≤a故实数a的取值范围是[-1

评注 看到此题,第一个思维反映是去判断函数f(x)的奇偶性和单调性.这是解决此类型问题的常规思路.

解析 易判断f(x)是区间(-1,1)上的单调递增的奇函数.由f(-x)=-f(x),即-f(x)=f(-x),可把原不等式化为f(x-1)＜f(-x).所以,由函数f(x)的单调性知解得0＜

评注 在把 “f”脱掉的时候,我们已经默认了x-1,-x∈(-1,1),也就是我们已经注意到函数f(x)的定义域为(-1,1),要保证表达式的每一部分都要有意义,因此,由函数的单调性把“f”脱掉时,不能漏掉x-1,-x∈(-1,1)这一个隐含条件,否则就错了.

2.f(△)＞ a型

依题意,先使原函数不等式f(△)＞ a中的常数a穿上函数符号“f”,然后把原不等式f(△)＞ a转化为f(△)＞f(∇)模型,再根据函数的单调性脱掉“f”.

评注 穿上“f”的目的是脱掉所有“f”,这是解答此类问题的一大策略.用其他常规方法非常难求解,甚至解答不出来.

3.f(△)＞ af(∇)型

根据已知函数f(x)的解析式的结构特征,设法把符号“f”外的常数a与符号“f”内的“∇”同穿一个符号“f”,使原不等式f(△)＞af(∇)转化为f(△)＞f(♢)的模型,再根据函数的单调性脱掉“f”,问题得解.

例4(2012年全国高中数学联合竞赛B卷第1试第7题)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2.若对任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,则实数a的取值范围是.

即

评注 (1)类型3的难度要比类型1和类型2大一些,但是,其解答思路相通,都是把原不等式转化为f(△)＞f(∇)模型,然后根据函数f(x)的单调性脱掉“f”.

(2)此题是陈唐明老师的文[1]中的例3.

4.f(△)±f(∇)＞ a型

根据已知函数f(x)的解析式,讨论自变量x的取值范围,把函数不等式f(△)±f(∇)＞a转化为具体不等式求解.

评注 解决此类型问题的关键是根据自变量的取值范围选取相应的函数,明确自变量对应的解析式,然后代入求解.

由上面的几例可知,对于求解具体函数条件下的函数不等式问题,往往需综合应用函数的单调性、奇偶性、定义域及值域等知识.以上列举了4种具体函数条件下的函数不等式问题的探究策略,若能掌握这4种策略,可以说,解决这类问题就没有问题了.

[1]陈唐明.妙用性质灵活解题[J].高中数学教与学,2011(2)(上).