一个圆锥曲线定值问题的解法和推广

江苏省启东市汇龙中学(226200) 倪红林

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,是高考的重点考查内容.特别是圆锥曲线中的定点与定值问题,一直是高考的热点问题.解决此类问题常见的方法有两种:一是从特殊入手,求出定点(定值),再证明这个点(值)与变量无关;二是直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定点(定值).下面举一个具体例子加以说明.

例1已知椭圆=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点.

(1)当直线AM 的斜率为1时,求点M、N的坐标;

(2)当直线AM 的斜率变化时,直线MN是否过一定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.

(2)假设MN过一定点,则由A(-2,0)和椭圆的对称性知,定点一定在x轴上,又由(1)知定点坐标为Q(-0).证明如下.

设M(x1,y1),N(x2,y2);AM :y=k(x+2),则AN:(x+2),直线AM与椭圆联列消去y,得:-2和x1是这个方程的两个解,由韦达定理:x1-2=,则y1=k(x1+2)=由直线AN和椭圆联立消去y,得:

-2和x2是这个方程的两个解,由韦达定理:x2-2=

所以

则

由于kMQ=kNQ,所以M,Q,N三点共线.即MN必然过定点Q(

本题研究的是一个特殊椭圆的一个定点性质,由类比推理的思想,这种性质能否辐射到一般的椭圆,甚至其它圆锥曲线呢?

问题1将特殊的椭圆推广到一般的椭圆

解法一 (特值法)从特殊位置(特殊点或线所在的位置)入手,找出定点,再证明该点适合题意.

由椭圆的对称性知,若直线MN过定点,则该定点在x轴上,然后令直线AM 的斜率为±1,求出点M 的横坐标这样目标明确,易于证明.

圆锥曲线中的定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的实、虚轴,抛物线的焦参数等.在求定值之前,要大胆设参,运算推理,到最后参数必清除,定值显现.

得b2x2+a2k2(x+a)2=a2b2,所以

b2(x2-a2)+a2k2(x+a)2=0,

又因为(x+a)/=0,所以b2(x-a)+a2k2(x+a)=0.所以(b2+a2k2)x=a(b2-a2k2),所以

解法三 设P(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),直线AM:

由直线AM,AN和椭圆方程得

所以

所以

(1)当MN不垂直X轴时,设直线MN:y=kx+m.由

得

所以

因为AM⊥AN,所以

.

所以

(x1+a)(x2+a)+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+(a+mk)(x1+x2)+a2+m2=0

即

(m-ak)[m(a2+b2)-kac2]=0,

所以

当m=ak时,直线MN:y=k(x+a),过点A,不成立,舍去.所以

问题2 将椭圆推广到圆锥曲线的其它情形:双曲线和抛物线

推广3已知抛物线:y2=2px,过顶点O作两条互相垂直的弦OM,ON交抛物线于M,N两点,则当直线OM的斜率变化时,直线MN是过一定点(2p,0).

推广2、3可仿照推广1证明.

例2 已知抛物线y2=4x上两个动点B、C和定点A(1,2),且 ∠BAC=90◦,则动直线BC 必过定点.

答案: (5,-2)

解法一 (特殊法)任取点B坐标,比如B1(4,4),然后求出AB1,AC1所在直线;求出C1点坐标,求出B1C1所在直线.

同理取点B2(4,-4),然后求出AB2,AC2所在直线,求出C2点坐标,求出B2C2所在直线,

求出直线B1C1与直线B2C2的交点即为所求的定点.

解法二 (一般法)设B(x1,y1),C(x2,y2),则y=4x1,=4x2.当x1=x2时,y1=-y2,

从而

直线

问题3将抛物线上特殊的点推广到抛物线上的一般的点.

推广4 已知抛物线:y2=2px,过抛物线上一点P(x0,y0)作两条互相垂直的弦PM,PN交抛物线于M,N两点,则当直线OM 的斜率变化时,直线MN是过一定点(2p+x0,-y0).

特别地,当p=2,x0=1,y0=2时,(2p+x0,-y0)=(5,-2),即例2成立.

问题4推广4的逆命题成立吗?

推广5 已知P(x0,y0)是抛物线:y2=2px上一定点,M,N是抛物线上两动点,则PM,PN互相垂直的充要条件是直线MN过定点(2p+x0,-y0).

总之,在数学教学中,问题是引发学生思维活动的向导,有了问题,学生的求知欲才能激发;有了问题,学生的思维才能启动,学生的创新才有了可能,思维才得以不断发展.教师通过对题目的变通、引申、推广,不仅丰富了学生的认知结构,而且激发了学生探究的兴趣,营造了一种生机勃勃的课堂氛围,让学生享受到了一种积极的情感体验,提高教学效果.