解题要创新 反思要悟道—关于2016年福建省单科质检理科数学第20题的教学思考

福建省福州华侨中学(350004) 李文明

新课程倡导的是学生学习方式上的自主性、探究性、合作性,强调的是以培养学生创新精神和实践能力为核心的教学理念.这不仅是对教师的课堂教学提出了新的挑战,而且也是对新课程标准下的考试命题与解题提出了更高的要求.众所周知,解析几何不仅是高考命题的重中之重,其难度的控制更是令人难以把握;虽然其中原因诸多,但是如何突破计算的“瓶颈”,减少计算量,增加思维量不仅是命题专家所要面对的实际问题,也是中学解析几何教学实践必须认真思考和探究的问题.下面是笔者对一道福建省单科质检试题的探究过程和教学反思.

一、试题再现

题目 (2016年福建省单科质检理科第20题)以椭圆M:+y2=1(a＞1)的四个顶点为顶点的四边形的四条边与圆O:x2+y2=1共有6个交点,且这6个点恰好把圆周六等分.

(1)求椭圆M 的方程;

(2)若直线l与圆O相切,且与椭圆M相交于P、Q两点,求|PQ|的最大值.

本题主要考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等.

二、参考答案

解法一 (1)如图1,依题意,A(0,1),B(a,0),∠OAB=60◦;因为故所求方程为

图1

所以

∆=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-1)=24k2＞0⇒k/=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

所以

所以

∆=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-1)=24k2＞0⇒k/=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

所以

令t=1+3k2.因为k/=0⇒t＞1,于是

因为综上所述,|PQ|的最大值是3.

三、创新求解

从上述参考答案给出的两种解法,不难发现,两种解法思考方法大同小异,都运用“分类整合思想”对直线的斜率是否存在进行了讨论,只是在处理两点间距离的结果时,采取了不同的方法,方法一运用“基本不等式”求极值;方法二运用“换元法”和函数思想求极值;这充分展现了解决极值问题的两种常用方法的重要性.由此可见,这是一道完全符合命题目的的解析几何试题.

教师要培养学生的创新精神;就要身先士卒,解决问题就不能套路优先,亦步亦趋,解决问题就要学会具体问题具体分析,审时度势,认真分析,学会趋利避害,顺势而为,教学过程中我们先根据参考答案的解法对学生进行引导,但是学生总是觉得老师“太高明”,总是觉得“技不如人”;于是我们对问题进行再思考,再分析,和学生一起探寻新的突破口,借助“向量”数形兼备的特点,利用“相关点法”解决如下:

图2

解 如图2,设点N(x0,y0)是圆O上的任意一点,点R(x,y)为过点N的圆O切线l上的任意一点,切线l与椭圆M:=1的交点P(x1,y1),Q(x2,y2).则

点评 由此可见,原题的命题目标,未必都能够实现;这正是“分类不必要,解法需创新”！对数学本质要有深刻的理解;万万不可僵化,要“活学活用”！“套路”不等于“通法”.真正的通法是通向能够揭示数学问题本质的最基本方法.

四、反思悟道

证明 设点N(x0,y0)是圆O上的任意一点,点R(x,y)为过点N的圆O切线l上的任意一点,切线l与椭圆

即当|x0|=b时,|PQ|max=2eb,切点有两个(-b,0),(b,0),切线有2条x=±b

同理可证如下的

由此不难发现,解决数学问题如果事先设定“条条框框”,思维就会受到不应有“束缚”;即使是数学专业知识渊博,思维敏锐的专家也会受到干扰和影响,因此数学教学要不断激发学生的学习热情,数学思考的激情,只有让数学教学在不断的创新过程中进行,才是学生学好数学的不竭动力！