分离lnx法解一类函数问题

安徽省砀山中学(235300) 盖传敏

函数模型“f(x)=p(x)lnx+q(x)+r”在高考试题中频繁出现,涉及恒成立、不等式证明、求参数取值范围等问题,如果直接借助导数求解,往往四处碰壁,无功而返,下面结合实例谈谈求解此类问题的一种有效方法—分离函数lnx法.

例1(2010年新课标I理科第20题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.

(1)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;

(2)证明:(x-1)f(x)≥0.

解析 (1)a≥-1.

(2)当x≥1时,x-1≥0.要证(x-1)f(x)≥0,只需证f(x)≥0,即证

所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,即(x-1)f(x)≥0;

同理可证:当0＜x＜1时,(x-1)f(x)≥0.

综上所述(x-1)f(x)≥0.

例2(2011年新课标I文科第21题)已知函数

曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.

(1)求a,b的值;

解析 (1)a=1,b=1.

所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)＜g(1)=0,即

例3(2016年全国卷II文科第21题)已知函数

f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;

(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)＞0,求a的取值范围.

解析(1)2x+y-2=0.

构造函数

则

当a＜0时,

g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)＞g(1)=0,结论成立;

当0≤ a≤ 2时,∆ =4a(a-2)≤ 0,g′(x)＞ 0,则g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)＞g(1)=0,结论成立;

当 a ＞ 2 时,令 g′(x)=0,得

所以g(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,即存在x0∈(1,x2)使得g(x0)＜g(1)=0,不满足题意.

综上所述a≤2.

评注 通过以上实例可以看出对于函数模型“f(x)=p(x)lnx+q(x)+r”,通过分离函数lnx,使lnx前的系数变为常数不再含有变量x,然后构造函数对其求导,可使导函数简洁有效,从而轻松得到其单调区间、最值、极值等性质,达到求解目的.

(1)a=1,讨论f(x)的单调性;

(2)若对任意x∈(0,1),f(x)＜-2恒成立,求实数a的取值范围.