聚焦不等式解题中的换元法

安徽省无为县牛埠中学(238351) 朱小扣

1.换元法的引入

例1(2016年辽宁预赛11题)已知lga+lgb+lgc=0,证明

证明 因为lga+lgb+lgc=0,故a,b,c＞0,且abc=1.当a=b=c=1时,有

当a,b,c不全相等时,则a,b,c中至少有一个小于1的.不妨设0＜c＜1.令

则

故g(b)为增函数.由于

因此,1＜f(a)＜2.故命题得证.

上述解法是命题组提供的答案,笔者按此答案在班级讲授时,发现学生看起来耗时耗力,不好理解.那么有没有做和理解起来都更简单的解法可以绕过求导呢?笔者经过研究发现换元法可以替代求导法,原题可以通过换元法完美的解决,过程如下:

证明 因为lga+lgb+lgc=0,故a,b,c＞0,且abc=1.

综合(1),(2)得知原不等式成立.

故命题得证.

以上是条件换元,做代换:

除此之外还有:

点评 述例题中通过将条件不等式即在abc=1的条件下,通过换元转化成非条件不等式问题,也将不等式的分子,分母齐次化,从而有利于问题的解决.这种解法相比命题组所给的答案更简单,只用了简单的不等式放缩,且更容易理解,更能体现“大道至简”的思想.

有时候也会利用换元法将非条件不等式问题转化成条件不等式,如:

例3设a,b,c∈R+,求证:

简证 不妨设a+b+c=1,则原不等式化为

再由切线法证

即可.

点评 只需考虑a+b+c=1,因为假设a+b+c=s,则可设 a=sa′,b=sb′,c=sc′,代入原不等式,即和 a+b+c=1的情形一样.也就是利用换元法将非条件不等式问题转化成条件不等式.

2.其他换元方法

2.1 拉维换元

例4 已知△ABC三边分别是a,b,c,求证:

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0.

证明 拉维换元

令a=x+y,b=y+z,c=z+x(x,y,z∈R+),则原不等式可化为:

例5已知△ABC三边分别是a,b,c,求证:a2+b2+

点评 拉维换元:在△ABC中,令

a=x+y,b=y+z,c=z+x(x,y,z∈R+),

这样换元,就可以消去在三角形中的两边之和大于第三边的约束,使约束的条件得到释放,为进一步的解决问题打好了基础.

2.2 分母换元法

解 (分母换元法)令

a=y+3z,b=4x+8z,c=3x+2y,

则

于是

当且仅当x:y:z=10:21:1时取等号.

分母换元法还可以解决很多类似题,又如:

点评 利用分母换元法,可以将复杂的分母简化,进而运用均值不等式使得问题能简单的解决.分母换元法在解决此类问题中均达到了“釜底抽薪”的效果.

2.3 乘积换元法

例8(2017年清华大学能力测试题改编)已知x,y∈R,且5x2-4xy-y2=5,则2x2+y2的最小值是.

故

乘积换元法可以拓展,又如例7:

例9 已知x2+xy+y2=1,求x2+3xy+2y2的范围.

提示 注意到

x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y),

点评 例8中利用设其中一个因式为t,得到一个方程组,解出x,y用t表示,以达到化二元为一元的效果,使得问题得以解决.而例9是乘积换元法的逆向运用,是对乘积换元法能力的要求进一步的提升.

2.4 增量换元法

证明 设

因为

所以

例11 设a,b,c是△ABC三边的长,求证:a2(b+ca)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc

提示 不妨设a≥b≥c,令a=c+m,b=c+n(m≥n≥0)即可.

点评 增量换元法通俗易懂,是一种很实用的方法,通过增量换元的化归可以让题目变得更简单,同时也进一步延拓了这类不等式的解题方法.增量换元法解类似的题有很多,在此不再一一例举.

3.换元升级:常数变元法

例12 已知a,b∈R+,且3a+4b=1,求的最小值.

解

例13 (2016年河北预赛13题)设正数 x,y满足x3+y3=x-y,求使x2+λy2≤1恒成立的实数λ的最大值.

解 由正数x,y满足x3+y3=x-y知x＞y＞0,

点评 通过易常为变,可以将不等式变为齐次,进一步变成求一元函数的最值问题使问题得到完美的解决,但像例13难度较大,不易想到.所以我们在做题时,应不断采用变化的思维去考虑问题,最终达到对常数变元法的掌握.

总结 通过对一道预赛题的另解,让我们认识到换元法功能的强大.实际上,换元法的本质是转化,通过元之间的转化过渡,使问题能由繁变简,由难变易,通过换元能让学生更加体会数学中的千变万化的美.道法自然,解法也应自然.学生应在不断做题中,在方法的不停的交汇中,达到自身水平的提高,这样才会在解题时,找到浑然天成的解题方法.