用切线段修正使用琴生不等式解题中所发生的错误

刘殷仪泓

【摘要】分析在高中数学学习中，使用琴生（Jensen）不等式进行数学解题时的常见错误，并揭示切线段修正的一般方法与注意事项，此方法具有一定的普遍意义，有助于提高高中生的数学解题能力.

【关键词】琴生（Jensen）不等式；切线段；数学解题

琴生不等式也称为詹森不等式，是指对于任意的凸函数f（x）以及其定义域上n个数x1，x2，…，xn，那么都有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≥fx1+x2+…+xnn；对于任意的凹函数以及其定义域上n个数x1，x2，…，xn，那么都有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≤fx1+x2+…+xnn.使用琴生不等式，所任取的数值一定要位于使函数凸（或凹）的区间上，结论才能成立.但在一些典型题解中，错误也时有发生.例如，已知a，b，c为正实数，且a4+b4+c4=3，证明14-ab+14-bc+14-ca≤1.

原证明 令f（x）=14-x，且x∈0，169，由

f′（x）=12x（4-x）2，

f″（x）=-（3x-4）（x-4）4xx（4-x）4<0，

知f（x）是0，169上的凹函数，由琴生不等式得

14-ab+14-bc+14-ac≤34-a2b2+b2c2+c2a23

≤34-a4+b4+c43=1.

该证明的错误是，任取满足a4+b4+c4=3的a2b2，b2c2，c2a2并不能保证总落在区间0，169上（0，169 由f″（x）<0而求出）.

由排序不等式：a2b2+b2c2+c2a2≤a4+b4+c4=3，可知a2b2，b2c2，c2a2都落在（0，3）内，例如，当c2很小时，a2b2就可接近3.这样就不能使用琴生不等式直接推出本題的结论.

对原证明修正如下：

在区间（0，3）上考察原证明中的函数y=f（x），由f′（x）>0，可知它是增函数，拐点是169，38，在0，169上是凹函数，在169，3上是凸函数.从曲线y=f（x）的右端点B3，14-3向左作曲线的切线，设切点Tx0，14-x0，其中x0≠3.作草图，从曲线的走向可知，它在[x0，3]上的一段在切线段TB的下方，而x0满足f（3）-f（x0）3-x0=f′（x0）.

设T（x）=f（3）-f（x）3-x-f′（x）.

通过计算可知T（1）<0，而T169>0，所以x0在1与169之间.

设切线段TB的方程为y=f1（x）（x0≤x≤3），

有f1′（x）=f′（x0）>0，f1″（x）=0.

引进辅助函数

G（x）=f（x），0≤x≤x0，f1（x），x0

由前面的讨论可知f（x）≤G（x），G（x）是[0，3]上的增函数，且是凹函数.由琴生不等式，在（0，3）上任取a2b2，b2c2，c2a2，有

14-ab+14-bc+14-ca

=f（a2b2）+f（b2c2）+f（c2a2）

≤G（a2b2）+G（b2c2）+G（c2a2）

≤3Ga2b2+b2c2+c2a23

≤3Ga4+b4+c43

=3G（1）=3f（1）=1.

从本例可见，并非当任取的几个数的平均数落入使该函数凹（凸）的区间之内，就能用切线段的方法补救，还须切点的横坐标要落在该平均数与拐点的横坐标所形成的闭区间上才行.但此方法仍具有一定的普遍意义！例如，下题：

设正数a，b，c满足a4+b4+c4=1，求f=a31-a8+b31-b8+c31-c8的最小值.

使用柯西不等式和均值不等式可以求出最小值是9843，但这一经典解法的技巧性非常强.若使用上述切线段方法，思路更清晰、方法更便捷.

可设f（x）=x341-x2，0≤x<1.求出f′（x），f″（x），可知在（0，1）上f′（x）>0，存在唯一的t0，使f″（t0）=0，曲线y=f（x）在（0，t0）是凹函数，在（t0，1）上是凸函数.过端点O（0，0）引一条切点不在O点的曲线的切线，可求出切点T的横坐标13，刚巧与任取的几个数a4，b4，c4的平均数相同，t0<13.引进辅助函数G（x）=f′13x，0≤x<13，f（x），13≤x<1， 使用琴生不等式，可求出fmin=9843.