利用韦达定理巧解数列通项

郭炅

摘 要 本文介绍了从一元二次方程的角度去看待连续两项的对称二次式，通过韦达定理实现条件的降次，化简，从而求出数列的通项。把方程的思想运用于数列中，实现了知识的交汇，有利于提高学生的解题能力。

关键词 高中数学 数列通项 韦达定理 巧解数列

中图分类号：G633.6 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.12.036

Abstract This paper presents a new way to treat symmetric quadratic expression whose adjacent terms are consecutive from the angle of quadratic equation of one unknown. It is based on Viete theorem to simplify and reduce the order of the equations so as to calculate the general term of sequence. Applying the method of equations realizes the comprehensive use of knowledge and can help improve students problem solving ability.

Keywords high school mathematics； general term of sequence；Viete theorem； clever solution to the progression problems

求数列的通项公式是数列问题中的重要题型之一，它通常作为解题的着眼点和关键点，是高考中的重点， 比赛中的难点。在求解数列通项问题中，一种是已知数列类型和数列中的几项求通项，另一种是由给出的递推式求通项，所以求解通项公式的方法灵活、策略多变。而对于二次多项递推式，由于项数较多且二次项比较难处理，很难通过常规方法解决。但是从二次方程的角度去联想，若能利用二次方程的韦达定理，通过两个根找到新的关系式，就能够起到化繁为简的作用，有意想不到的效果。

对于形如的连续两項的对称二次式，可以利用韦达定理求出通项。

解：已知

整理得

①

由于其为对称式，交换①式中和可得

②

②式中用代替得到

③

①③式说明了和是方程

的两根，由韦达定理

从而化为二阶非齐次线性递推数列，下面依照二阶非齐次线性递推数列解法求解即可。

若则

令

化为等差数列

若，令，

此时与比较得，

令有

即转化为二阶齐次线性递推数列的形式，运用二阶齐次线性递推数列通项公式，如下：

若

若

从而

其中

若

从而

其中

虽然有时给出的递推式不易观察出为连续（下转第175页）（上接第79页）两项的对称二次式，如无理递推式，但可化为连续两项的对称二次式，这是因为要利用韦达定理，必须符合一元二次方程的结构，由于找到两根和一元二次方程是通过数列的脚注变动实现的，所以这就要求了递推式的结构和系数，必须要符合连续两项的对称二次式的结构。

例1：已知，，求

解：，

令，解得

按整理：

按整理：

说和是方程的两根

由韦达定理

令

点评：观察到递推式有二次和对称的特点，展开之后分别选择不同的主元进行变形，再通过变动脚注的方法使结构符合一元二次方程并确定两根。

例2：已知数列满足，，求此数列的通项公式。

解：由

移项平方得 ①

用代替上式的得

②

由①②知 ，为二次方程的两个不等根，由韦达定理得，

这是一个二阶线性递推数列，其特征方程为

则特征根为，，故其通项为

由及，可得，于是满足下列方程组

解得

点评：处理根式最直接的方式就是平方，虽然递推式看上去没有对称性，但经过平方后依然符合要求。运用韦达定理后得到二阶线性递推数列，需要用特征方程的方法来继续完成。此题递推式平方后可以进行因式分解，可与使用韦达定理得到相同的答案。

参考文献

[1] 高焕江.二阶线性递推数列的通项[J].保定学院学报，2010-05-25.

[2] 唐擘.递推数列的通项公式[J].科技创新导报，2010-04-11.endprint