如何运用“线段图”解决行程问题

谢正荣

(合肥市徽州小学 安徽合肥)

引言

在一道行程问题解决过程中笔者发现学生解题的正确率很低，讲评时画出线段图后再来理解题意就简单多了。由此可见画线段图是解决这道行程问题的关键。在小学阶段，线段图在解决行程问题中有着怎样的作用呢？如何让线段图成为学生解决行程问题而主动运用的有效策略呢？

一、一道行程问题的解题过程

甲、乙两车同时从东西两地相向开出，8小时后两车在距中点32千米处相遇。已知甲车每小时行56千米，乙车每小时行多少千米？

学生呈现的解题过程都是设乙车每小时行x千米。列式为8x-32=56×8，解得x=60。列式为8x+32=56×8，解得x=52。列式为8x-32=56×8+32，解得x=64。 列式为8x+32=56×8-32，解得x=48。为什么会有四个不同答案呢？原来是“距中点32千米”不知道在算式中怎么表达。学生提议画线段图帮助理解题意并给大家示范，当甲车和乙车相聚点在中点左边32千米处，也就是甲车的速度比乙车慢：

甲车8小时行驶的路程+32千米=乙车8小时行驶的路程-32千米，列式为8x-32=56×8+32。那当甲车和乙车相聚点在中点右边32千米处，也就是甲车的速度比乙车快：

甲车8小时行驶的路程-32千米=乙车8小时行驶的路程+32千米，方程是8X+32=56×8-32。由此可见在解决此类问题时,如果学生能够依据信息有序正确地画出线段图,就可以发现这些信息之间的联系，自然而然就找到了解决问题的方法。

二、教材中运用线段图策略解决行程问题的梳理

苏教版义务教育教科书数学教材通过“加、减、乘、除”“千米的认识”以及“时、分、秒”等内容逐步渗透行程问题。最初的行程问题也只是通过简单的加减法计算路程和时间。学习乘除法之后的解决问题会出现“速度”“路程”和“时间”等名词，要求学生理解路程、时间、速度的概念以及它们之间的数量关系，利用乘除法的原理解决问题。从根据公式用已知量求未知量到分析题意求平均速度,学生对于行程问题的学习路径其实是从“运用固定公式”到“分析数量关系”的过程。行程问题路线和方向的变化使题目中的数量关系越来越复杂，这时就需要借用线段图将物体的行驶过程直观地呈现出来，挖掘其中的数量关系。

三年级下册教学画线段图解决问题的策略，要求学生说出数量之间的关系，四年级下册利用线段图解决问题数量关系越来越复杂，五六年级和方程、分数、比等知识融合在一起，更加注重学生分析和解决问题能力的发展。同时行程问题由简单的求出两地之间的距离、走了多少米、求速度或时间等扩展为复杂的相遇、相离以及追及问题。由于题型的复杂化,对学生画图的能力提出了更高的要求,线段图的画法更多样,应用更灵活。

三、用线段图解决行程问题的实践

让线段图成为学生解决行程问题的策略，关键要让学生在碰到复杂关系的行程问题时能想到画图解决问题的好处，自觉把“画线段图”内化为自己的解题策略，而这种意识需要在各个阶段的学习中循序渐进地慢慢渗透。让学生从模仿、实践到灵活运用，以期达到对线段图在行程问题中初步体会、充分体验、灵活运用的目标，力求教学行程问题的效益达到最优化。

1．从模仿到实践，深刻体会“线段图”的功效

几何直观是2011年版数学课程标准提出的十大关键词之一，即利用图形描述和分析问题，其最直接的方法就是用线段图或示意图把抽象的数学问题直观的表示出来，进而使条件与问题之间的联系形象、生动地呈现出来。教材从三年级下册教学尝试利用图形描述和分析问题，第31页练习中用示意图呈现了一个简单的行程问题：少年宫到小悦家的距离是到小华家距离的3倍。求小华家与小悦家的距离以及少年宫到小华家比到小悦家近多少米。(图1)借助线段图分析和比较，学生更容易也更清晰地意识到这两个问题都与“小华家到少年宫的路程”以及“小悦家到少年宫的路程”直接相关。

在四年级下册在解决问题的策略单元专门教学画图描述问题、分析数量关系。课本第54页练习八：一辆汽车从相距495千米的甲地开往乙地，行驶3小时后，剩下的路程比已经行驶路程多45千米。求这辆汽车的平均速度。(图2)：

让学生把示意图补充完整，既帮助学生学会利用画图来整理题中的条件和问题，又可明了此题中的数量关系。画图描述问题的目的不仅在于方便分析数量关系，明确解题思路，更在于让学生经历自主构建线段图的过程并在这一过程中发展空间观念。

五年级下册教学列方程解决实际问题，形如ax±bx=c和ax±b×c=d时，第14页例10是一个典型的行程问题:两地相距540千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相向开出，3小时后相遇。客车的速度是95千米/时，货车的速度?千米/时？(图3)：

条件和问题通过线段图来整理，围绕列方程求货车速度这一目标，并借助直观寻找相应的等量关系，通过比较使他们认识到：依据等量关系“客车行的路程+货车行的路程=总路程”或“速度和×相遇时间=总路程”，都可以列出合适的方程并由此求出货车的速度。

第15页练一练中的实际问题与例10相似，不同在于这两艘船是从同一个码头往相反方向开出，告知甲船的速度是26千米/时，经过8小时两船相距400千米。求乙船的速度。(图4)学生借助线段图整理条件和问题，明确题中的等量关系并列方程解答。

到六年级，行程问题、分数、比等知识融合在一起，第30页的第2题：一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的30%，离乙地还有140千米。这辆汽车行驶了多少千米？(图5)：

根据题意先把线段图补充完整，看图说说依据“已经行驶了全程的30%” 可以想到什么？再借助图形直观分析数量关系以此选择合适的策略来解决问题并逐步形成相应的策略意识。

苏教版教材中把线段图补充完整的过程让学生充分感受到线段图的基本画法和特征，再通过看图理解题意找出等量关系又让学生感受到线段图可以把抽象的文字叙述转化为直观的图形，可以化隐形为显性把题目中隐藏的信息直观呈现出来，如：甲、乙两车同地自西向东行驶，甲车速度为每小时48千米，乙车速度为每小时72千米。甲车开出2小时后乙车开出，几小时后甲车追上甲车？(图6)：

设x小时后乙车追上甲车，通过画图后得到隐含条件:乙车x小时行驶的路程比甲车x小时行驶的路程多96千米。方程为(72-48)x=2×48，解得x=4。

2．灵活运用，让线段图“内化”为解决行程问题的策略

行程问题在每个学期的练习中都会以一定的频率出现，借助线段图来分析题意,使学生掌握问题的本质，能在准确理解等量关系的基础上,建构起行程问题的数学模型,日积月累可以使线段图内化为学生解决行程问题主动运用的有效工具。因此,当学生在解决行程问题时能主动运用“几何直观”去思考,此时利用线段图解决问题已经成为一种有效的解题策略。

在相向和追击问题中，如上面所提到的五年级下册第14页例10以及第15页练一练，还有类似下面的题型：两车分别以100千米/时和85千米/时的速度同时从A地开往B地。2.5小时后两车相距多少千米？这些解决问题中都可以鼓励学生只画出线段图的关键部分或在头脑中想象出线段图，既达到了分析数量关系的目的，又有利于锻炼学生的想象能力，发展空间观念，同时也为学生提供了适合自身实际的学习方式，使不同层次的学生都能在解决问题的过程中有所收益，有所发展。

线段图是解决行程问题的有效工具，但不是唯一工具，在行程问题的追击练习中还会经常出现环形跑道的题目，这时可以灵活运用示意来进行分析，如：甲、乙两人沿着400米的环形跑道同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度为280米/分，乙的速度是240米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 甲、乙两人在环形跑道上跑步。起跑时甲在乙前面15米，甲4米/秒，乙6米/秒，两人都按逆时针方向跑，多少秒后乙追上甲？这两题同样是在环形跑道上跑步，要求经过多长时间甲第一次追上乙，审题后画出简单示意图可以更清晰地看出这两题都是同时同向出发，由于起点的不同导致第一次相遇时两人的路程差也就不同，一个是在相同时间内甲跑的路程正好比乙多400米，一个是在相同时间内小红跑的路程正好比小英跑的路程多15米。如果把题目 中的条件环形跑道和逆时针去掉，此时画线段图或画环形跑道的示意图都可用来分析题意。

华罗庚先生曾说过:数缺形时少直观,形少数时难人微。数形结合百般好，割裂分家万事休。线段图作为几何直观的具体表现方式，有着极其重要的地位和作用。教师要从宏观的角度分析教材，在学生经历模仿、实践到灵活运用的实践过程后循序渐进地实践线段图的教学价值。