高中数学错因分析法及其教学策略——以一道概率题的错因分析为例

董留蕾

(安徽省枞阳中学 安徽铜陵 246701)

著名教育家叶圣陶先生说：教是为了不教。这句话富含哲理。教是手段，不教才是目的，要实现教的结果“不教”，前提是学生能够接受并掌握教师的教学内容，包括知识的运用范围和运用方法，教师必须对教学内容和《课程标准》了然于心，明确学生的“最近发展区”。而要了解学生的情况，并采用有效的教学手段和方法发展学生的思维能力，从而使教学目标得到实现，笔者根据十多年来的教学实践得出，对学生所做的试题进行错因分析，诊断错因形成原因，攻破思维障碍，是一种可行的教学途径。现以一道概率题为例，分析数学学习过程中学生的常见错误类型和纠错策略，探索出引领学生数学思维的教学策略。

一、案例分析

1.例题

某校为市运动会招收志愿者，从报名的6个人(其中女生4人，男生2人)中，任选3人进入面试。

(1)求选择女生a或男生b的概率；

(2)设“选择女生a”为事件A,“选择男生b”为事件B,求P(B)和P(A|B)。

这是一道极其常规的概率题，笔者在所教学的两个班级学生中进行测试。每个班级学生人数为60，其中，一个班级有33人出现失误，另一个班级也有25人出错。在进行试卷分析前，笔者对不同得分情况的学生，进行广泛的调查和个别的交流，了解他们解答此题的情况。

2.常见错解类型及其归因

根据笔者多年的教学经验记录和错因归纳，该题有下列常见错解类型和原因：

出错归因：审题失误。该类同学误以为是求两个概率:女生a被选中；男生b被选中。

出错归因：思维错误，以偏概全。该类同学以为“选择女生a或男生b”等于“只有a被选和只有b被选”，没有考虑到“a,b同时被选中”。

出错归因：概念原理不清。该类同学利用公式P(AB)=P(A)·P(B)求P(AB)，以致P(AB)求错，忘了这个公式的前提是A,B是相互独立事件。

错解4: (1) 令“既没选女生a也没选男生b”为事件C，则

3.常见的正确解法

简洁而正确的解题方法主要有下列二法：

(1)正解一：令“既没选女生a也没选男生b”为事件C，则

(2)正解二：选择女生a或男生b可以看成是三个事件的和事件:选择女生a而未选择男生b,选择男生b而未选择女生a,女生a和男生b都被选中。

二、引导学生进行错因分析的教学策略

1.归纳数学学习中的错因类型

万物变化皆有因。学生数学解题出现问题，其原因很多。从学习的主体、学习的过程、学习的目标和学习的情境划分，主要有知识欠缺、心理紧张、解题不规范、思维不严谨或混乱等；从解题过程分析，主要错因有双基性失误、策略性失误、心理性失误、逻辑性失误等四个方面。归纳以前教学过程中记录的学生错题类型，最常见的几大问题有以下几类：

(1)对数学概念理解不透，以致解题时不能正确地写出答案。

(2)计算粗心导致错误，一些学生计算能力较弱。

(3)思路混乱，推理过程不合理，论证欠严密，部分学生在证明时还多加条件。

(4)学生受思维定势的影响，引起解题错误。

(5)审题不仔细，解题过程不规范，不能熟练运用数学语言去表达和解决问题。

(6)“会而不对，对而不全”的现象较为严重。

2.学生自我纠错更重要

教是为了不教。学生自我纠正比老师反复讲解和强调效果要好百倍。要真正纠正学生已经产生的错误，不仅要指出学生的错误所在，还要纠正学生书写的错误答案，更要纠正学生错误的思维方式和思维习惯。这就要引导学生寻找答案与题目的关系，寻找自己的答案与标准答案的本质区别，让学生自我纠错。其方法是选择学生训练过程中出现的错误问题作为典型例题，指导学生如何从题目中提取关键信息，如何正确地运用相关知识进行数学抽象和逻辑推理，如何合理地进行数学建模、数学运算和数据分析，如何准确地组织答案，从而校正学生的思维，培养学生正确的思维方式，再给出一道变形问题让学生进行分析解答，从而培养学生良好的数学思维习惯。

3.设计错误类型统计表

为了帮助学生解决这些问题，笔者设计了一个表格并发给学生，让学生自我统计。表格如下。

错误类型统计表

三、发展学生数学能力的教学策略

1.重视基础，回归教材

教材又称课本，是教师教学的教科书，是学生学习的蓝本，是按照课程标准的要求编写的教学用书，是一门课程的核心教学材料。课程标准规定了学科的教育目标和教育内容以及实施建议，它向教育者提出要面向全体学生，关注学生的多样化发展，代表着国家意志。

高考是检测学生的学习效果是否达到国家规定标准的一种手段。高考命题的基本原则就是“以考纲为准，以教材为本”，教材是很多高考题的来源，许多高考题就是对教材实例和练习的改编或扩展。因此，要想在高考中成功，教师必须掌握国家课程标准的要求，学生必须掌握课本的内容。比如上文中的例题就改编自人民教育出版社A版课本《数学》选修2—3第28页第15题。题目节选如下：

从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛。

(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？

(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？

(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？

高考中的数学试题与课本中的例题彼此相似的不胜枚举，因此我们每位数学老师都应具备对教材进行研究的态度和专业素质。

2.以人为本，聚焦素养

根据学习动力学原理，学生在学习的过程中除了受自身的认知结构、思维水平、智力因素等影响外，还受着自身的非智力因素的强烈影响。

就拿上文中的例题来说，后期就有学生自我纠错时说“考试时比较心急，题目看错，以为选2人” ，还有学生说“看到6个人中选3人，题中又提到6个人中有4名女生2名男生，马上想到分层抽样，但在分类处理的过程中发现越往后越分不清，最后慌了就瞎写了”。这些现象不仅说明学生知识层面不足，还反映出学生的心理素质不过硬，意志力不强。要想收到好的学习效果，就必须促进学生智力因素和非智力因素共同发展。

教师的教是为了学生的学，所以在课堂教学中应留给学生充足的思考时间和充分的表达机会，老师不可满堂灌。教师在教学中应紧紧围绕学生, 要关注到学生个体的差异，不仅要“授人以鱼”，更要“授人以渔”。

《普通高中数学课程标准》(2017年版)提出，数学教学的目标是培养学生的数学核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些素养相对独立又交织在一起，是一个有机的整体。通过高中数学的学习，学生将获得未来发展所需要的“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)和“四能”(从数学角度发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力)。因此，高中数学教学应落实学科核心素养的培养，以学生发展为本，从而实现立德树人的教育目标。