常型弦方程的谱分析

于倩倩

【摘要】 本文考虑定义在[0，1]区间内的常型弦方程的谱问题，利用Liouville变换将弦方程转化为Sturm-Liouville势方程，推导出常型弦方程算子在一般分离型边界条件下的解，特征值和特征函数的渐近式.

【关键词】 弦方程;Liouville变换;特征函数

本文将Dirichlet边界条件推广到一般的边界条件情况下，研究定义在[0，1]区间内的弦方程在如下分离型自伴边界条件下的谱问题：

Ly=-y″+λp（x）y， y′（0）-h0y（0）=0， y′（1）-h1y（1）=0，

其中密度函数p（x）∈ C 2[0，1]为正实值函数，h0，h1∈ R .

由于当密度函数p（x）∈ C 2时，弦方程可以通过Liouville变换转化为与之相对应的Sturm-Liouville势方程， 所以考虑定义在[0，π]内的Sturm-Liouville问题L1（q，h，H）：

-u″+q（x）u=μu， u′（0）-hu（0）=0， u′（π）-Hu（π）=0，

其中q（x）∈ C [0，π]为正实值函数，且h，H∈ R .熟知，微分算子L1在函数空间L2[0，π]内是自伴且下半有界的，它的谱由简单的实特征值σ（L1）={μn}∞n=0组成.

记φ（x，μ），χ（x，μ）分别是方程-u″+q（x）u=μu满足如下初始条件的解：

φ（0）=1，φ′（0）=h;χ（0）=1，χ′（0）=1.

引理1.1 [1] 记μ=l2，则

φ（x，μ）=coslx+ h l sinlx+ 1 l ∫x0sinl（x-τ）q（τ）φ（τ，μ）dτ，

χ（x，μ）= sinlx l + 1 l ∫x0sinl（x-τ）q（τ）χ（τ，μ）dτ.

引理1.2 [1] 记l=σ+it，则存在记l0>0，使得当|l|>l0时有

φ（x，μ）=O（e|t|x），χ（x，μ）=O  e|t|x |l|  ，

进一步，

φ（x，μ）=coslx+O  e|t|x |l|  ，

χ（x，μ）= sinlx l +O  e|t|x |l|2  ，

这些估计式对x∈[0，π]一致成立.

引理1.3 [1] 当n→∞时，Sturm-Liouville问题的特征值μn和特征函数vn满足如下渐进式：

μn=n2+O（1），

vn（x）=  cosnx+O  1 n  .

下面给出弦方程解，特征值和特征函数的渐进式.记φ（ξ，λ），ψ（ξ，λ）分别为弦方程满足如下初始条件的解：

φ（0）=1，φ′（0）=0;ψ（0）=0，ψ′（0）=1.

定理1.4  记λ=s2，则

φ（ξ，λ）=cossξ+O  e|t|ξ |s|  ，ψ（ξ，λ）= sinsξ s +O  e|t|ξ |s|2  ，

λn= n2π2 c2 +O（1），vn（ξ）=  cosnξ+O  1 n  ，

其中ξ=∫x0 p（t） dt，c=∫10 p（t） dt.以上渐进式对x∈[0，1]一致成立.

证明  通过Liouville变换：

ξ=∫x0 p（t） dt， u（ξ;λ）=p 1 4 （0）p 1 4 （x）y（x;λ）， q（ξ）=p- 1 4 （x） d2 dξ2 p 1 4 （x），

将弦方程问题转化为如下Sturm-Liouville问题：

（λ-q（ξ））u（ξ）=-u″（ξ）， u′（0）-hu（0）=0， u′（c）+Hu（c）=0，

其中h= 1 4 p- 3 2 （0）p′（0）+h0p- 1 2 （0），H=-  1 4 p- 3 2 （1）p′（1）+ h1p- 1 2 （1） ，c=∫10 p（t） dt.

因为p（x）∈ C 2，则q（ξ）∈ C .结合引理1.1、引理1.2和引理1.3，结论得证.证毕.

【参考文献】

[1]刘景麟.常微分算子谱论[M].北京：科学出版社，2009.

[2]杨秋霞，王万义，张新艳.一类常型Sturm-Liouville問题的渐近分析[J].内蒙古大学学报（自然版），2008（1）：7-12.

[3]何翠竹.弦方程的逆谱问题[J].纺织高校基础科学学报，2011（1）：63-67.