高等代数教学中的重难点分析

李庆

【摘要】 高等代数是高等院校数学专业的一门核心基础课程.由于代数学高度的抽象性和一般性加大了高等代数教学的难度，因此，本文着重分析了高等代数教学过程中的几个重难点，并给出了相应的教学策略.

【关键词】 高等代数;矩阵;线性空间

【基金项目】 西南民族大学教学改革项目（2018JK04）.

高等代数作为代数学的入门课程，是高等院校数学专业本科生的三门主要必修基础课（分析、几何、代数）之一.高等代数的基本任务是以线性空间这一代数系统为例来阐述代数学的基本思想和一般性方法[1].高等代数课程的教学内容看上去似乎是一块一块的，不像数学分析课程那样主线明确.实际上，高等代数的主线也是明确的：研究线性空间的结构及其线性映射.这是古典代数学研究的问题（解方程和解方程组）和近世代数的革命性变革（研究代数习题的结构及其态射）所决定[2].那么，在高等代数的教学中该如何贯穿这条主线呢？怎样让每个新的概念和理论顺其自然地产生呢？笔者对高等代数教学中的几个重难点做了一些分析并给出相应的教学对策.本文主要以文献[3]这部教材为例展开分析.

一、矩阵和行列式概念的引入方法分析

我们知道在教学过程中对理论的阐述应当符合人的认识规律，即由浅入深，从具体到抽象，由形象直观到理性思维[1].经典代数学的研究课题是各类代数方程的求解问题，因此，高等代数的引入也应该从解方程问题入手，着重解决线性方程组的求解问题.通过分析线性方程组求解过程中的消元法，即方程之间系數和常数项的变化，提炼出消元法的本质.消元的过程实际上就是让相应的未知量的系数通过方程之间的加、减或数乘关系化为零.于是，我们就可以在消元的解题过程中不必写出每个方程的未知量，而只需写出每个方程的系数和常数项，并按行排列，同时方程组中每个未知量的系数按列对应整齐，最后一列由常数项构成，因此，形成一个按行列排列整齐的一个矩形数表，由此我们引出矩阵的概念.同时，消元法的实质是这个矩形数表的行之间的加、减或数乘关系，由此引出矩阵的初等行变换的概念.消元法解线性方程组的过程本质上就是对它对应的这个矩阵（简称为增广矩阵）实施初等行变换的过程.那么，变换到哪一步停止呢？此时，通过方程组的阶梯形状，引出阶梯形矩阵的概念.这样就给出了以矩阵理论的思维来解决线性方程组求解问题，引出高斯-约当算法.这样的教学过程让学生从熟悉的解线性方程组入手，呈现出通过现象抓住本质的过程.

另外，在讨论线性方程组无穷多解之间的关系时，引导出向量空间的基本理论，比如，向量组的线性相关和线性无关.此外，针对一类特殊的线性方程组，即方程个数和未知量个数相等的线性方程组的求解除了高斯-约当算法外，能否直接通过该方程组的系数和常数项直接判断其解呢？由此引入行列式这一记忆符号.应特别注意，行列式的引入一开始是作为符号方便记忆建立起来的.由2阶行列式到3阶行列式，再猜测并建立n阶行列式的概念，产生行列式理论.因此，这样的教学过程让学生以中学代数知识（即经典代数学中方程的求解问题）为出发点将其逐步引导到现代代数学的基本研究对象上来.具体来说，就是从研究线性方程理论入手，引导出向量空间和矩阵的基本理论.

二、抓住矩阵乘法运算与矩阵初等变换之间的关系的应用

在高等代数的教学过程中，矩阵的乘法运算与其初等变换之间关系密切，即对一个矩阵实施一次初等行（列）变换将相当于在这个矩阵的左（右）边乘一个相应的初等矩阵.在这一理论中，初等矩阵起着重要的桥梁作用，同时也在后面的矩阵理论及其应用中有着重要的地位.因此，首先让学生透彻理解初等矩阵的概念，特别是三类初等变换与三类初等矩阵之间的对应，要注意初等行变换和初等列变换对应的三类初等矩阵的记号不能混淆.例如，文献[3]中第187页和第188页，无论是通过初等行变换形成的初等矩阵还是初等列变换形成的初等矩阵，这些初等矩阵的记号分别是 P （i，j）， P （i（k））， P （i，j（k））.前两类初等矩阵都是表示一个单位矩阵通过交换第i，j两行（或两列）形成的初等矩阵 P （i，j），以及一个单位矩阵通过第i行（或列）乘数k形成的初等矩阵 P （i（k））.而第三类初等矩阵 P （i，j（k））这个记号对应的初等行变换和初等列变换在描述上有一点差异. P （i，j（k））表示为一个单位矩阵通过第i行加上第j行的k倍形成的初等矩阵，或一个单位矩阵通过第j列加上第i列的k倍形成的初等矩阵.因此，在这个教学过程中需要让学生通过这些符号明白其背后隐藏的初等变换.

此外，矩阵的乘法运算和它的初等变换的关系在矩阵的逆矩阵的求法和二次型化为标准形中的合同变换法中起到重要的作用.在文献[3]中第五章的第二节中着重提到了用配方法化二次型为标准形.在该教材的第219页例2主要根据例1配方的过程写出对应的矩阵形式.自然需要思考，如果不用配方法化二次型为标准形，该如何利用直接矩阵理论实现化二次型为标准形的过程呢？在文献[3]中第219页例2解答中，一开始就给出一个线性替换的系数矩阵.如果没有文献[3]中第214页例1的解答过程，这样很容易让初学者摸不着头脑.实际上它把合同变换的每一个过程用矩阵形式表达出来，但是对于初学者来说是不容易理解的.因此，在这个教学过程中教师要着重强调矩阵的乘法运算和它的初等变换的关系在这里的应用，也就是通常所说的合同变换法.下面以文献[3]中第219页例2为例，不同于该例的解答过程，笔者利用矩阵的合同变换法来解答.

例  [3] 化二次型f（x1，x2，x3）=2x1x2+2x1x3-6x2x3成标准形.

解  二次型矩阵 A =  0 1 1 1 0 -3 1 -3 0  ，

构造矩阵

A   E      对 A 子块实施初等行变换，再对   A   E   实施相应的初等列变换      Λ   C

注：当 A 对应的子块是对角阵，就可以停止计算，而下面的矩阵 C 就是所做的非退化的线性替换  x1 x2 x3  = C   y1 y2 y3  的系数矩阵.

A   E   =  0 1 1 1 0 -3 1 -3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1   r1+r2    1 1 -2 1 0 -3 1 -3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

c1+c2   2 1 -2 1 0 -3 -2 -3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1

r2+r1× - 1 2  ，r3+r1

2 1 -2 0 - 1 2  -2 0 -2 -2 1 0 0 0 1 0 0 0 1    c2+c1× - 1 2  ，c3+c1   2 0 0 0 - 1 2  -2 0 -2 -2 1 - 1 2  1 0 1 0 0 0 1

r3+r2×（-4）    2 0 0 0 - 1 2  -2 0 0 6 1 - 1 2  1 0 1 0 0 0 1    c3+c2×（-4）

2 0 0 0 - 1 2  0 0 0 6 1 - 1 2  3 0 1 -4 0 0 1   .

故令非退化的线性替换  x1 x2 x3  =  1 - 1 2  3 0 1 -4 0 0 1    y1 y2 y3  ，

从而二次型f=2y21- 1 2 y22+6y23.

这个解答过程进一步体现了矩阵的乘法运算和初等变换之间的关系.

三、理解线性空间的概念，实现从具体到抽象的过渡

线性空间概念的引入，意味着数学从经典代数学向近代的代数学迈出了关键性的一步，已经摆脱了数及其四则运算的局限性，进入了一类不是由普通的数构成的集合.在这个集合中给出了不同于普通数的两种新的运算，意味着研究对象从具体上升到了抽象.数学作为一门科学，它的任务就是要从感性上升到理性，从具体上升到抽象，只有这样，才有理论上的實质性进展，我们对该理论的认识才能深入，该理论的应用领域才能更加宽广[1].之前我们单独研究多项式、研究矩阵、研究连续函数等，直到线性空间的产生，使得这些具体的研究对象，都可以统一到线性空间中去研究.特别在线性空间的概念的引入过程中，教师需要向学生充分展示数学思维方式的全过程，即观察客观现象，从具体的研究对象出发，抓住它们的主要特征，抽象出概念，或者建立数学模型.这样让学生不仅了解什么是线性空间，更让学生从中受到数学思维方式的熏陶和训练.另外，在文献[3]中第六章线性空间的最后一节为何会提到同构映射呢？实际上通过同构映射又将抽象的线性空间转化到具体的有序数组构成的向量空间中，使得线性空间中抽象的向量可以用坐标这样的有序数组来表示，又实现了从抽象到具体的一个思维过程.事实上，从具体到抽象，再从抽象到具体，这样循环下去，就是一个基本的代数研究方法.此外，同构映射的提出也为高等代数后面研究线性映射埋下了铺垫.

四、小 结

本文笔者从高等代数的教材中提取了一些重难点来分析，同时给出在教学过程中相应的教学策略.总体而言，高等代数的教学过程中需注重“观察—抽象—探索—猜测—论证”的思维方式[2]，使学生感受到从具体到抽象，再从抽象到具体的循环的研究过程，使学生从中受到数学思维方式的熏陶.

【参考文献】

[1]蓝以中.高等代数简明教程（上、下册）[M].北京：北京大学出版社，2013.

[2]邱维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2014.

[3]王萼芳，石生明.高等代数：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.