一类广义欧拉型级数

郑子华 杨思捷

【摘要】 本文研究了整函数f（z）=∑ ∞ k=0  znk （nk）！ 的性质，包括它的对称性、几种有用的表达式和它的零点分布，然后利用根与系数关系推广了莱昂哈德·欧拉在1735年发现的级数1+ 1 32 + 1 52 + 1 72 +…= π2 8 ，我们得到一类广义欧拉型级数.

【关键词】 广义欧拉型级数;母函数法

一、源函数的定义及基本性质

定义   z∈ C ，设n≥2为正整数，n次源函数由泰勒级数f（z）=1+ zn n！ + z2n （2n）！ +…=∑ ∞ k=0  znk （nk）！ 定义.

性质  （1）设ε=e 2πi n ，则f（εz）=f（z）.

（2）f（z ）=f（z） .

证  （1）f（εz）=∑ ∞ k=0  znkεnk （nk）！ =∑ ∞ k=0  znk （nk）！ =f（z）.

（2）由源函数的定义马上得到.

注：由性质（1），若f（ρ）=0，则f（ερ）=0;由性质（2），f（z）的所有零点关于实轴对称.

定理一  f（z）的3种表达式：（ⅰ）f（z）= 1 n ∑ n-1 k=0 ezεk.

（ⅱ）当n为奇数时，

f（z）= 1 n  ez+2∑  n-1 2  k=1 ecos 2π n kcos zsin 2π n k  .

当n为偶数时，

f（ ε z）= 2 n ∑  n-2 2  k=0 ezcos  π n （2k+1） cos zsin π n （2k+1） .

（ⅲ）f（z）=∏ ∞ k=1  1- zn ρnk  （ρk为源函数在某一零点射线上第k个零点）.

證  （ⅰ）定义g（z）= 1 n ∑ n-1 k=0 ezεk，易证 dnk  1 n ∑ n-1 k=0 ezεk  dnkz = 1（k∈ N +），对于若m≠n·k，恒有 dm  1 n ∑ n-1 k=0 ezεk  dmz =0，所以g（z）=∑ ∞ k=0  g（k）（0） k！ zk= 1 n ∑ ∞ k=0  znk （nk）！ =f（z）.

（ⅱ）① 若n为奇数，

f（z）= 1 n ∑ n-1 k=0 ezεk

= 1 n  ez+∑  n-1 2  k=1 （ezcos 2π n k+izsin 2π n k+ezcos 2π n （-k）+izsin 2π n （-k））

= 1 n  ez+2∑  n-1 2  k=1 ezcos 2π n kcos zsin 2π n k  .

② 若n为偶数，

f（ ε z）= 1 n ∑ n-1 k=0 ezεk ε = 1 n ∑ n-1 k=0 ezε 2k+1 2

= 1 n ∑  2n-2 2  k=0 （ezε 2k+1 2 +ezε- 2k+1 2 ）

= 2 n ∑  n-2 2  k=0 ezcos  π n （2k+1） cos zsin π n （2k+1） .

（ⅲ）由性质（2），f（z）的零点均可以表示为ρk，ερk，ε2ρk，…，εn-1ρk（ρk为n次源函数在某一零点射线上第k个零点）.可以证明，∏ n-1 m=0  1- z ρkεm  =1- zn ρnk ，由f（z）为整函数知f（z）=∏ ∞ k=1 ∏ n-1 m=0  1- z ρkεm  =∏ ∞ k=1  1- zn ρnk  .

定理二  定义函数F（z）=∑ r j=1 eajzcosbjz（aj，bj∈ R ，j，r∈ N +）;设ρk为F（z）在（-∞，0）内第k个零点，ρk′为函数y=eakzcosbkz在（-∞，0）内第k个零点，其中ak=min{a1，a2，…}.则当z→-∞时，存在整数m，满足 lim k→+∞ |ρk+m-ρk′|=0.

证  左右两边同时除以eak得 F（z） eak =cosbkz+∑  1≤j≤r j≠k  e（aj-ak）zcosbjz，由ak=min{a1，a2，…}，得aj-ak>0（j≠k），所以lim z→-∞ e（aj-ak）zcosbjz=0，即∑  1≤j≤r j≠k  e（aj-ak）zcosbjz=0.注意到函数y=cosbkz在z→-∞时不收敛，则当z→-∞时，存在整数m，满足 lim k→+∞ |ρk+m-ρk′|=0.

推论  设|ρk|为n次源函数在某一零点射线上第k个零点的模，则存在只与n有关的整数m，满足 lim k→+∞   2sin π n  π ·|ρk+m|-（2k+1） =0.

定义  nk= 2sin π n  π ·|ρk|.例如，对三次源函数，我们可以算得n1≈1.020，n2≈3.000，n3≈5.000.

二、广义欧拉型级数

考查n次源函数f（z）=∏ ∞ k=1  1- zn ρnk  =∑ ∞ k=0  znk （nk）！ ，对比zn这一项的系数知-∑ ∞ k=1  1 ρnk = 1 n！ ，即∑ ∞ k=1  1 nnk =- πn 2nsinn π n  ∑ ∞ k=1  1 ρnk = πn 2nn！sinn π n  .我们把这类恒等式叫作广义欧拉级数，下面列出二至四次源函数生成的广义欧拉级数.

1+ 1 32 + 1 52 + 1 72 +…= π2 8 （由二次源函数生成），

1 1.0203 + 1 3.0003 + 1 5.0003 + 1 7.0003 +…= π3 18 3  （由三次源函数生成，零点的数值保留三位小数），

1+ 1 34 + 1 54 + 1 174 +…= π4 96 （由四次源函数生成）.