不定积分凑微分法的教学新探

熊欧

【摘要】 本文提出不定积分的凑微分法的教学新思路——外层函数分析法.把凑微分法中连续凑微的过程转化为学生熟悉的求导过程，易于学生掌握，有效地解决了能直接用凑微分法解决的不定积分问题.

【关键词】 凑微分法;复合函数;外层函数分析法

【基金项目】 重庆邮电大学移通学院教改项目《高校数学课程教学改革与教材建设的研究》，项目编号：YTGJ291721.

在高等数学的课程中，一元函数不定积分的计算是微积分计算中的重要内容之一，是学习定积分、微分方程、多元函数积分学的基础.不定积分的求解主要有：直接积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积分法四种计算方法.其中，凑微分法应用极其广泛，是学生学习的重点和难点.

凑微分法的基本原理是：设f（u）具有原函数F（u），u=φ（x）可导，则F[φ（x）]是f[φ（x）]φ′（x）的原函数，即有换元公式∫f[φ（x）]φ′（x）dx= ∫f（u）du u=φ（x）.在求积分∫g（x）dx时，如果函数g（x）可以化为g（x）=f[φ（x）]φ′（x） 的形式，那么∫g（x）dx=∫f[φ（x）]φ′（x）dx=  ∫f（u）du u=φ（x）.凑微分法的关键在于如何将函数g（x）化为g（x）=f[φ（x）]φ′（x）的形式.

各类教材及传统教学对这一内容的处理方法，都是从被积函数的一个复合函数的内层出发，利用常用的凑微分公式由里向外一次一次凑微分运算后，利用基本积分公式求解，以下面两个例题为例.

例1   求∫ （arctan x ）3  x （1+x） dx.

解  ∫ （arctan x ）3  x （1+x） dx=2∫ （arctan x ）3 （1+x） d x

=2∫（arctan x ）3darctan x

= 1 2 （arctan x ）4+C.

例2   求∫ ln2tanx cosxsinx dx.

解  ∫ ln2tanx cosxsinx dx=∫ln2tanx· 1 tanx ·sec2xdx

=∫ln2tanx· 1 tanx dtanx

=∫ln2tanxdlntanx= 1 3 ln3tanx+C.

以上求解中，例1先利用凑微分公式 1  x  dx=2d x ，再利用公式 1 1+x2 dx=darctanx的变形式把 1 1+x d x 凑成darctan x 后得解.而例2首先需要将被积函数 ln2tanx cosxsinx 变形为ln2tanx· 1 tanx ·sec2x，再利用公式sec2xdx=dtanx，最后利用公式 1 x dx=dlnx的变形式把 1 tanx dtanx凑成dlntanx后得解.

教学中，虽然给出了一些常见的凑微分公式，但从实际教学反馈来看，大多数学生不能理解和熟记.即使有的学生能把这些公式熟背，一旦形式发生改变，就不会灵活应用了.所以，大多数学生面对稍复杂点的连续凑微就束手无策，不知從何下手，导致学习效率降低，学习情绪不高.

从上述例题可以看出，多次凑微的结果就是凑出复合函数的第二层函数的微分，而对复合函数的求导法则，学生一般都能熟记，这就启示我们可以对被积函数的复合函数由外向内分析，只需找到复合函数的最外层函数，把第二层函数整体作为u直接放到d的右边.若对du进行微分后与原积分式只相差常数或符号，就可通过系数或符号处理，使前后积分式相等，再根据最外层函数的类型选择积分公式求其积分.若对du进行微分后与原积分式相差函数，则表明该积分不能直接利用凑微元法，需变形后再考虑或改用其他方法求解.上述分析方法简称为外层函数分析法，下面以上述两个积分为例具体阐述外层函数分析法.

例3   求∫ （arctan x ）3  x （1+x） dx.

分析  考虑复合函数（arctan x ）3，最外层函数为幂函数u3，第二层函数为u=arctan x ，计算du=darctan x = 1 1+（ x ）2 · 1 2 x  dx= 1 2 · 1  x （1+x） dx，与原积分式相比只 差系数 1 2 ，只需在原积分号前面乘2即可凑出du=darctan x .

解  ∫ （arctan x ）3  x （1+x） dx=2∫（arctan x ）3darctan x = 1 2 （arctan x ）4+C.

例4   求∫ ln2tanx cosxsinx dx.

分析  考虑复合函数 ln2tanx cosxsinx ，最外层函数为幂函数u2，第二层函数为u=lntanx，计算du=dlntanx= 1 tanx ·sec2x= 1 cosxsinx .

解  ∫ ln2tanx cosxsinx dx=∫ln2tanxdlntanx= 1 3 ln3tanx+C.

由此可见，从外层函数进行分析，把连续凑微的过程转换为学生熟悉的函数求导过程，学生易于理解和接受.在使用外层函数分析中正确选择复合函数进行分析是关键，针对被积函数的形式和特点，归纳出以下几种选择方法和技巧.

1.被积函数只有一个函数时，选择该函数为复合函数进行分析.

例5   ∫（3x+2）5dx= 1 3 ∫（3x+2）5d（3x+2）= 1 18 （3x+2）6+C.

2.被积函数为两个及其两个以上函数的乘积时，选择复合层数最多的函数为复合函数进行分析.

例6   ∫xex2sinex2dx= 1 2 ∫sinex2dex2=- 1 2 cosex2+C.

3.被积函数可视为两个函数商的情形时，把除法运算化为乘法运算再按以下情况选择：

（1）含有反三角函数时，选择含有反三角函数的函数为复合函数进行分析.

例7   ∫ arcsinx  1+x2  dx=∫arcsinxdarcsinx= 1 2 arcsin2x+C.

提示：把反三角函数arcsinx看作复合函数.

（2）不含反三角函数时，选择复合层数最多的函数为复合函数进行分析.

教学实践表明，对于直接能采用凑微分法计算的不定积分，学生按照上述方法选择复合函数再采用外层函数分析法一般都能迅速解题，有效地提高了学生的解题能力.

【参考文献】

[1]范云晔.一元函数不定积分凑微分法求解技巧的几点思考[J].数学学习与研究，2016（17）：112.

[2]陈文亚.浅谈凑微分法的教学[J].考试周刊，2016（27）：59.

[3]黄立宏.高等数学：第4版[M].上海：复旦大学出版社，2015.