关于(a,b,0)分布类的特征函数统一表达式的若干标记

李 浩，刘 莉，李 杰，屠瑶瑶，翟文祥

在非寿险精算理论中，为了刻画保单的索赔次数分布，需要建立索赔次数模型［1-4］.常用于刻画索赔次数的分布有泊松分布、二项分布、几何分布和负二项分布，四者可以统一表示为一种分布类，称为 (a,b,0)分布类［5-8］.此分布类在非寿险精算的实务中应用较为广泛，尤其是在非寿险产品定价中会起到很重要的作用，其中会涉及到该分布类的特征函数、矩母函数和概率生成函数等.文献［1-2］给出了(a,b,0)分布类的矩母函数和概率生成函数统一表达式的结论.

矩母函数和概率生成函数的被积函数都是一个实值函数，积分有时未必存在，从而两者对一切实数未必都有定义.因此，并不是所有的分布函数都有矩母函数和概率生成函数与之对应.而特征函数是一个实变量的复值函数，对一切实数都有定义，并且随机变量的特征函数可以通过傅里叶积分变换与分布函数建立一一对应的关系.所以探讨(a,b,0)分布类的特征函数具有一定的理论意义.

1 基本定义

定义1［3］设随机变量N的分布列{ }pk满足

则称N的分布为(a,b,0)分布类，其中a和b为参数.

定义2［3］设随机变量X的分布函数为F(x)，其特征函数定义为

2 主要结果

定理1(a,b,0)分布类的一阶原点矩与二阶中心矩具有统一表达式，可表示为k=1,2.

证明 设随机变量X服从(a,b,0)分布类，根据(a,b,0)分布类的定义，可以分别求出其期望及方差.由(a,b,0)分布类的定义可知，对于取值为非负整值随机变量N，其期望为

由(a,b,0)分布类的定义可知，对于取值为非负整值随机变量N，其方差为

定理2(a,b,0)分布类的矩母函数可用参数a和b表示为统一表达式，即

定理3(a,b,0)分布类的概率生成函数可用参数a和b表示为统一表达式，即

从特征函数、矩母函数和概率生成函数的定义出发，可以得到三者之间的关系为

其中，MX(t)、PX(t)分别为随机变量X的矩母函数和概率生成函数.

定理4(a,b,0)分布类的特征函数可用参数a和b表示为统一表达式，即

对应于式(3)，用于方位向成像的指数项为第二项.此时将其他项并入幅度可得到同式(4)的N组方位向重构模型为

证明 由特征函数与矩母函数及概率生成函数的关系，可将矩母函数MX(t)中的变量t替换为it，或者将概率生成函数PX(t)中的变量t替换为eit，即可得特征函数对应的表达式.

推论1泊松分布的特征函数为φN(t)=exp(λ(eit-1)).

证明 当a=0，b=λ时，(a,b,0)分布类即为泊松分布.结合结论3.2［1］的证明方法，以及矩母函数与特征函数的转化关系，即可得泊松分布的特征函数表达式.

推论2二项分布的特征函数为φN(t)=exp{mln[1+q(eit-1)]}.

推论3负几何分布的特征函数为φN(t)=exp{-rln[1-β(eit-1)]}.

推论4几何分布的特征函数为φN(t)=

(a,b,0)分布类中的四个分布的特征函数表达式，如表1所示.

表1 (a,b,0)分布类的特征函数

注：①当r=1时，负二项分布即为几何分布，则几何分布的特征函数便可由负二项分布的特征函数得到；

②令二项分布中的两参数m=-r，q=-β，二项分布即为负二项分布，则二项分布的特征函数亦可由负二项分布的特征函数得到；

③由泊松逼近定理可知，在满足一定条件下，泊松分布可以看成是二项分布的极限形式.因此泊松分布的特征函数表达式，完全可以由二项分布与负二项分布的特征函数表达式给出.

3 结论

在精算模型中，刻画保险的理赔次数的分布，是一个重要的理论问题.由于理赔次数是离散型随机变量，所以使用概率理论中用于刻画离散型随机变量分布的几种重要分布，如泊松分布、二项分布、负二项分布及几何分布.以上四种分布存在一定的内在联系，将它们的分布类统一起来，得到了(a,b,0)分布类这一概念，于是常用(a,b,0)分布类及(a,b,1)分布类以描述保险的理赔次数的分布情况.非寿险产品在价格厘定过程中，产品的定价模型需要考虑利率、理赔额及理赔次数等因素，定价模型的计算会涉及到矩母函数、概率生成函数及特征函数.因此建立(a,b,0)分布类的矩母函数、概率生成函数及特征函数的表达式及三者之间的关系尤为重要，而三者中唯有特征函数与分布函数具有一一对应的关系，所以本文正是在文献［1-2］的基础上，受启发得出(a,b,0)分布类中各分布的特征函数具有统一表达式的结论.在刻画非寿险产品索赔次数分布这一类问题时，常用二项分布或者负二项分布等，但是它们不一定都存在矩母函数，这样就不能完全利用分布的矩母函数进行定价，而特征函数克服了以上缺点.因此，在非寿险产品定价时，可以考虑先确定特征函数，再利用特征函数与矩母函数之间的关系，进一步建立定价模型.