独立的实正态过程线性组合的正态性

吕 芳

(洛阳师范学院 数学科学学院， 河南 洛阳 471934)

1 基本概念

定义1[1-2]设{X(t),t∈T}是一个随机过程， 如果对于任意n≥1和任意t1,t2, …,tn∈T， (X(t1),X(t2), …,X(tn))是n维正态随机向量， 则称{X(t),t∈T}为正态过程或高斯过程.

定义2[1]设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}为两个随机过程， 其k+l维联合分布函数为

过程{X(t),t∈T}的k维分布函数为

FX(t1,t2, …,tk;x1,x2, …,xk).

过程{Y(t),t∈T}的l维分布函数为

则称随机过程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互独立.

定义3[3]设X=(X1,X2, …,Xm)是m维随机向量， 则称

φX(u)=φ(X1, X2, …, Xm)(u1,u2, …,um)

为m维随机向量X=(X1,X2, …,Xm)的特征函数， 其中u=(u1,u2, …,um)∈Rm.

定义4[1]设{X(t),t∈T}是一个随机过程, 对于任意m≥1和任意固定的t1,t2, …,tm∈T,

(X(t1),X(t2), …,X(tm))是个m维随机向量， 称其特征函数

为随机过程{X(t),t∈T}的m维特征函数. 称

{φ(t1,t2, …,tm;u1,u2, …,um),ui∈R,

ti∈T,i=1, 2, …，m,m∈N}

为随机过程{X(t),t∈T}的有限维特征函数族.

2 相关定理

定理2[5]设m维随机向量X=(X1,X2, …,Xm)～N(μ,B)， 若n维随机向量Y是X的线性变换， 即Y=XC， 其中C是m×n阶矩阵， 则Y服从n维正态分布N(μC,CTBC).

引理1[6]设X=(X1,X2, …,Xn)是n维随机向量，X～N(μ,B)， 其中μ为均值向量，B为协方差矩阵， 则X的特征函数为

φX(r)=φ(X1, X2, …,Xn)(r1,r2, …,rn)

其中r=(r1,r2, …,rn)∈Rn.

由引理1及正态过程的定义易得定理3.

定理3设{X(t),t∈T}为正态过程， 均值函数为mX(t), 协方差函数为CX(s,t), 则{X(t),t∈T}的任意有限维特征函数为

φt1, …, tn(r1, …,rn)=

ri∈R,ti∈T,i=1, 2, …,n,n∈N.

3 主要结论

定理4设{X1(t),t∈T}， {X2(t),t∈T}， …， {Xm(t),t∈T}为m个相互独立的实正态过程， 记第i(1≤i≤m)个实正态过程{Xi(t),t∈T}的均值函数为mXi(t)， 协方差函数为CXi(s,t), 令Z(t)=a1X1(t)+a2X2(t)+…+amXm(t),t∈T， 其中a1,a2, …,am是不全为零的实常数， 则{Z(t),t∈T}仍为实正态过程， 其任意有限维特征函数为

a2mX2(tk)+…+ammXm(tk)] -

其中ri∈R,ti∈T,i=1, 2, …,n,n∈N,j2=-1.

证明(1)由于{X1(t),t∈T}， {X2(t),t∈T}， …， {Xm(t),t∈T}均为实正态过程且相互独立， 所以∀n≥1， ∀t1,t2, …,tn∈T， 随机向量

(X1(t1),X1(t2), …,X1(tn))

(X2(t1),X2(t2), …,X2(tn))

⋮

(Xm(t1),Xm(t2), …,Xm(tn))

均服从n维正态分布且这m个向量相互独立， 由定理1知随机向量

(X1(t1),X1(t2), …,X1(tn),X2(t1),X2(t2), …,X2(tn), …,Xm(t1),Xm(t2), …,Xm(tn))

服从n×m维正态分布， 即随机向量

(X1(t1),X2(t1), …,Xm(t1),X1(t2),X2(t2), …,Xm(t2), …,X1(tn),X2(tn), …,Xm(tn))

服从n×m维正态分布.

由定理2知, 随机向量(Z(t1), …,Z(tn))服从n维正态分布， 故随机过程{Z(t),t∈T}为实正态过程.

(2)下面计算实正态过程{Z(t),t∈T}的任意有限维特征函数.

{Z(t),t∈T}的均值函数为

mZ(t)=E(Z(t))=E(a1X1(t)+a2X2(t)+…+amXm(t))=a1E(X1(t))+a2E(X2(t))+…+amE(Xm(t))=a1mX1(t)+a2mX2(t)+…+ammXm(t) ,t∈T

{Z(t),t∈T}的相关函数为

RZ(s,t)=E(Z(s)Z(t)) =

{Z(t),t∈T}的协方差函数为

CZ(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t)=

[(a1mX1(s)+a2mX2(s)+…+

ammXm(s))(a1mX1(t)+a2mX2(t)+…+

由定理3知实正态过程{Z(t),t∈T}的任意有限维特征函数为

其中ri∈R,ti∈T,i=1, 2, …，n,n∈N,j2=-1.

定理得证.