第一类Fredholm积分方程分段泰勒级数展开法

刘雪铃, 黄 静

(亳州学院 电子与信息工程系， 安徽 亳州 236800)

0 引言

1782年Laplace提出的Laplace逆变换以及1811年Fourier提出的Fourier反演问题， 都属于积分方程[1]. 而近年来， 随着社会的飞速发展， 积分方程在数学、 物理等领域扮演着愈发重要的角色， 引起了学者们的广泛关注[2-5]. 随之而来的关于积分方程的数值求解也显得格外重要. 对于一维的Fredholm积分方程和Volterra积分方程， 国内外学者也进行了大量的研究. 文献[6]利用再生核， 构造了Fredholm积分方程的Hermite数值解， 并证明解的存在唯一性. 文献[7]利用光滑化方法给出第一类Fredholm积分方程的稳定数值解， 并通过数值算例表明该方法的有效性文献[8]利用Legendre小波函数获得了第一类Fredholm积分方程的数值解， 关于这方面的成果可见文献[9-11]. 文献[12]利用泰勒展开式得到第二类Fredholm积分方程的数值解并证明了解的存在性. 受到以上内容的启发， 本文利用泰勒展开式得到了第一类Fredholm积分方程的数值解， 并通过数值实例来证明方法的可行性与有效性.

1 分段泰勒级数展开法

一般来说， 第一类Fredholm积分方程可以写成

(1)

这里的f(x)为定义在区间[a,b]上的已知连续函数,φ(t)是未知函数. 接下来， 我们有两种数值方法， 一种是对(1)式进行积分， 另一种方法是对(1)式进行微分. 为了方便起见， 我们把前者称为积分法， 后者称为微分法.

1.1 积分法

接下来， 我们对(1)式进行i(i=1,2,…,m(n+1)-1) 次积分可得：

(2)

对(2)式交换积分顺序

(3)

为了书写方便我们有以下假定：

(4)

(5)

则(2)式和(3)式可以表示为

(6)

其中i=1,2,…,m(n+1)-1. 下面选择一系列的间断点a=x01). 我们选择等距的间断点， 可以得到：

则(6)式可以表示为

(7)

式(7)中的φ(t)可以表示为带有拉格朗日余项的泰勒级数展开式， 即可得到

(8)

将(8)式代入(7)式可得

(9)

(10)

此外

(11)

其中

(12)

(11)式可以写为：

LΦ=F

(13)

(14)

(15)

根据著名的克拉默法则， 我们知道这个方程组的解：

其中矩阵Lq(x)代表矩阵F(x)替换矩阵L(x)的第q列.

1.2 微分法

与上面的方法相反， 若K(x,t)和f(x)对变量x具有i(i=1,2,…，m(n+1)-1)阶导数， 我们对(1)式进行i(i=1,2,…，m(n+1)-1)次求导可以得到

(16)

和上面的积分方法相同， 我们对(1)式和(16)式中未知函数φ(t)进行泰勒展开， 类似(13)式可以得到：

(17)

其中

(18)

(19)

(20)

同样借助克拉默法则， 我们可以得到方程组(17)的解：

2 例题

为了表明上述方法的可行性， 首先我们将会给出一个例题用上述的方法进行求解， 其次用其他文献中的方法去求解这个例题， 同时给出数值解与精确解的绝对误差.

例：考虑下面第一类Fredholm积分方程

其中0

为了显示该方法的可行性， 我们选择文献[13]中的方法， 取n=4可以得到方程的近似解， 对本文中的方法， 我们选择(m,n)=(2,4),(m,n)=(4,4)和(m,n)=(8,4)， 求得方程的数值解与精确解的绝对误差， 可以得到表1.

表1 数值解与精确解的绝对误差

从上面表格中的数据可以看出本论文提出的方法是可行的， 并且对比其他文献中的数值求解方法更加精确. 使用本文中的方法只要m，n选取合理， 就能得到比较精确的数值解.

3 结论

本文研究了第一类Fredholm积分方程的数值求解， 基于积分方程理论和泰勒展开式等， 建立了等价的积分方程， 而且利用积分法和微分法， 求解出方程的数值解， 通过数值例子验证了所得结果的可行性与有效性.