提高学生英语背诵效率的有效策略

袁晓琳

摘 要 中学数学教师在进行教学设计时需围绕“为什么要教”和“如何有效地教”两个问题展开，而数学史能很好地回答这两个问题。从数学知识的产生与发展角度重新解读教材内容，利用“现实的数学”和“再创造”的教学原则组织教学过程，有助于说明教学内容的重要性和促进课堂教学的有效性。

关键词 教学设计 问题驱动 数学史 再创造

数学史家莫里斯·克莱因（M.Kline）指出“数学史是教学的指南”，因为个体知识的发生过程遵循人类知识的发展过程[1]。弗赖登塔尔（H.Freudenthal）认为“年轻的学习者重蹈人类的学习过程，尽管方式改变了”，同时也指出“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而是经过改良的有更好引导的历史过程”[2]。在此基础上他提出了两个重要的数学教学原则——“现实的数学”和“再创造”。即应依据数学史和学生实际对教材内容重组再创造，设置恰当的问题情境让学生经历数学知识的再发现过程和体验所涉及的思想方法。

数学史是一种文化，记载着数学思想的发生与形成过程。初等数学内容大都是为解决某个实际问题在历史长河中慢慢形成的，因此，了解数学史有助于教师更好地理解相关教学内容产生的背景及其在生产生活中的应用。这既能回答“为什么要教”，又能解决“如何有效地教”，为情景创设提供依据和参考。该如何有效地运用数学史进行教学设计？下面尝试对高中“正弦定理”和“余弦定理”的教学内容进行分析，提出相应的教学建议。

一、对“正、余弦定理”教材编写的思考

以人教版教材必修5为例，“正弦定理”和“余弦定理”的教学内容独立介绍，并以不同的方式引入[3]。

（1）已知两边及其所夹的角；（2）已知三边。最后还探讨了余弦定理和勾股定理的关系。

一节课的开端非常重要，教师进行教学设计时常会审视教材：为什么要这样引入和展开新知？有没有更好的处理方式？首先一个疑虑是，教材对两个定理的引入是否有些突兀？为什么会想到对直角三角形两个锐角的正弦作变形得到特殊情形的正弦定理？为什么会考虑到用向量的数量积处理三角形的边长问题？教材没能很好地展现知识的发现过程，更多的是在已经知道结论的情况下反过来寻找各种验证和证明方法。此外，正弦定理和余弦定理同是对于三角形边角关系的探讨结果，在教学中是否可以通过同一个生活或数学情境引入以体现课堂教学的高效性，同时体现知识间一脉相承的关系？

二、对常见教学设计的思考

从查找的相关文献看，教学设计思路都能体现新课程标准的理念，注重数学与现实的联系，以探究推动教学，强调对学生数学应用意识的培养[4-6]。以正弦定理为例，教学设计基本遵循：1.创设一个现实的问题情境体现数学知识的产生和形成过程；2.启发、引导学生将现实问题转化、抽象为数学问题；3.新问题与学生已有的知识储备形成认知冲突，引导学生尝试从特殊的直角三角形入手猜想结论再推广至一般三角形并证明；4.利用正弦定理去解决2中所提出的问题[5]。

但上面所创设的情景较为繁杂，需花不少的时间完成1和2环节才能进入到新知的探索。且将现实情景抽象为数学问题后就放置一边，然后脱离情境探讨正弦定理后才回头解决提出的问题。这样的情境设计忽视了情境创设的目的性和实效性。从认知心理学的角度看，原来活动的吸引力和新活动的特点是影响注意转移的主要因素[7]。如果创设的情境对学生有很大的吸引力且提出的问题学生自信能找到解决的办法，那教师就很难转移学生的学习注意，引到下一个任务的学习，从而导致教学设计环节的失败。

三、从数学的历史发展看平面中的“正、余弦定理”

远在公元前3000年，人们已经在实际测量中发现三边比例为3∶4∶5的三角形一定是直角三角形，后来发展为现在所熟知的毕达哥拉斯定理或称勾股定理。勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，但两个定理的发现完全在不同的历史时代。欧几里得（Euclid）最早给出了正弦与余弦的定义，提供了边与角的关系。历法和航海的发展要求人们对球面进行研究，所以从历史发展顺序看，球面三角的发展先于平面三角[8]。直到1450年后，由于平面三角在测量中的重要性，它才被突显出來受到重视。韦达（Vieta）在1593年给出了普遍采用的平面三角形余弦定理公式：=。而平面三角形的正弦定理由波斯的历史学家阿尔比鲁尼（al-B？觘rūn？觘）给出并作了证明，后由雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）在1463年到1464年写的《论三角》中对平面三角形正弦定理和球面三角形正弦定理加以清晰的表达。随着数学自身的发展，平面中的正、余弦定理被推广到n维欧氏空间中，得到n维正、余弦定理[9]。

从历史的发展看，由于实际测量的需要在讨论三角形边角问题时产生了正弦定理和余弦定理。而由于数学自身发展的需要，数学家将这两个结论推广到了n维空间。这为教学的开展和探究提供了依据。

四、数学史视角下“正弦定理”和“正弦定理”的教学设想

根据教材内容的安排，正弦定理（第1课时）和余弦定理（第1课时）的教学目标主要是：掌握定理的公式结构并能进行简单的计算；在探究发现定理及其证明的过程中丰富知识间的联系，体会定理的应用价值和蕴含的数学思想方法。由于正、余弦定理的内在联系，可利用同一个问题情景引入新课，使用相似的探究方式展开教学。目的是体现教学的连贯性，提高课堂的有效性和高效性。据此下面给出正弦定理（第1课时）的教学思路。

1.回顾直角三角形中的边与角关系

复习勾股定理的内容、正弦和余弦的定义，以及它们的作用。

【意图】为后面提出问题引入新知做铺垫，紧扣勾股定理进行新知探究。

2.设置问题、引发思考

三角形按角分类，除直角三角形还有锐角和钝角三角形。在生活中更多涉及到后面两类三角形的边长、角度及面积的测量和计算。而面积由边长和角度确定，所以对一般三角形边角关系的讨论就显得尤为重要。endprint

问题：某市在江的两侧A，B处有一座跨江大桥，桥长AB已知。为缓解交通压力，市政公司要在A处及与B同侧的C处之间规划一条过江隧道。为估算隧道的造价成本，工作人员用测角仪测出了∠ABC，∠ACB的度数。由此能确定AC的距离吗？

将上述的实际问题转化为数学问题：如图3，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c.若∠B，∠C的度数和边长c的长度已知，如何求边长b？

【意图】通过创设实际情境，让学生体会到新知识与生活的联系及应用价值，激发求知欲；引导学生将现实情境转化为数学模型与问题，通过“横向数学化”[2]培养学生简单的数学建模思想。

3.解决问题、探究定理

启发提问1：大家已经知道直角三角形中的边角关系，能否利用它们来解决这个问题？假定图3是锐角三角形，能否将其转化为直角三角形来处理呢？

【意图】为了解决本节课的核心问题，通过启发提问学生自然地想到作高引入辅助线构造直角三角形，解决了为什么要作和如何作辅助线的难点。同时也引导学生尝试使用和体验化未知为已知、化陌生为熟悉的化归思想，以及转化和“一般—特殊”的数学思想。

在探究过程中，教师需引导学生规范表述出正、余弦定理，并引领他们体会所涉及的数学思想、欣赏蕴含的数学美。

4.联系旧知，形成新的认知结构

启发提问2：结合之前学过的知识，还有没有其它的方法证明正弦定理呢？（学生可能运用向量法、等积法或建立坐标系等方法[4-6]。）

【意圖】在已知定理结论的情况下，启发学生从不同的角度去证明定理，寻找与已有知识间的联系，有助于培养学生的发散思维能力和反思能力。且新知必须与学生已有的旧知紧密联系形成新的认知结构，才能使新知识得以巩固和运用

5.巩固练习、小结

通过简单的练习加深对定理的理解和运用；明确正弦定理在三角学中的重要地位及其在解三角形问题中的作用；回顾定理的证明方法和涉及的数学思想。

6.课后引申

思考：在平面中，从直角三角形出发转而对一般三角形的探讨得到正弦定理。那么，从平面类比到空间，在空间多面体中（以斜三棱柱为例）是否也存在类似的结论呢？

三角形中边与角的关系，类比到三棱柱中则对应于面与二面角的关系.如图4，斜三棱柱ABC-DEF中，记侧面BEFC，ADFC，ADEB的面积分别为S1，S2，S3。作三棱柱的直截面GHI，记的三个内角分别为∠1，∠2，∠3。容易得到∠1，∠2，∠3分别是所在两个侧面构成的二面角的平面角。

【意图】将正、余弦定理推广到三维空间，目的是为开阔少数学有余力学生的数学视野，体会到类比思想在数学研究中的重要作用。解决这个问题又需利用新学的正、余弦定理，再次用到转化的思想。

数学教材给教学提供了一个蓝本，教师需结合数学史对教学内容进行再创造。让学生在探究学习中亲身经历数学知识的再发现过程，同时也为学有余力的学生提供更多的思考。数学教学的主要目的是让学生习得具体知识的同时掌握承载在知识之上的数学思想方法和解决问题的策略，所以教学过程中应重视数学思想方法的渗透，让学生学会“数学地”思考。

参考文献

[1] 徐章韬，汪晓勤，梅全雄.认知的历史发生原理及其教学工程化——以数学学科为例[J].数学教育学报，2012（1）.

[2] 弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1992.

[3] 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书·数学必修5[M].北京：人民教育出版社，2010.

[4]管理河.高中数学教学中的数学情景与提出问题——“正弦定理（一）”教学案例[J].数学教育学报，2002（4）.

[5] 吴新建.把“数学发现”的权利还给学生——正弦定理的教学设计[J].数学通讯，2004（11）.

[6] 周春雷.“余弦定理”的探究式教学[J].中学数学教学参考，2004（6）.

[7] 刘儒德.学习心理学[M].北京：高等教育出版社，2010.

[8] 莫里斯·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，2014.

[9] 沈文选.单形论导引[M].长沙：湖南师范大学出版社，2000.

【责任编辑 郭振玲】endprint