初中数学微拓展问题的设计策略

朱建明

摘 要：数学微拓展问题是特殊的教学问题，它是常规教学内容的适度延伸.设计不同的微拓展问题，或着眼迁移应用，或突出转化化归，或强调数学建模，能改善教与学的方式，为学生发展服务.

关键词：微拓展；迁移应用；转化化归；数学建模

初中数学微拓展问题是教师在教学中设计的一种特殊的教学问题，它与学生学习内容紧密结合，同时又延伸拓展了常规学习内容，具有较高的数学思维价值，有利于丰富教学素材，拓展学生视野，培养学生数学探究能力.

设计有效的数学微拓展问题要以落实新课程理念为基础，力争做到延伸拓展有度，问题大小适宜，适合学生的学习基础和学习内容.使用数学微拓展问题，要积极引导学生主动参与和深度探究，以求改善课堂中教师的教学方式和学生的学习方式.下面就以江苏科技出版社出版的初中数学教材为例，从三个方面谈谈微拓展问题的设计策略.

一、知识型微拓展 要着眼迁移应用

有些知识内容，虽然在“数学课程标准”及相应的教材中不涉及，但在相关知识的教学中，它们是设计数学微拓展问题的绝佳素材，利用这些素材，可以帮助学生加深对相关知识的理解和掌握.设计这类知识型微拓展问题，要注重现行教学内容的迁移应用，以便学生通过探索研究，做到固本清源.

案例1 等腰梯形的性质和判定

在八年级下册有关平行四边形这一章的《小结与思考》一课中，可以设计如下微拓展问题：

如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，这样的梯形称为等腰梯形.

（1）在等腰梯形ABCD中，你能得到哪些结论？

（2）如何判定一个梯形是等腰梯形？

等腰梯形虽然已经不再作为教学内容，但将它设计为微拓展问题，可以引导学生自主探究它的性质和判定.本例中，可以将等腰梯形分为平行四边形和等腰三角形（如图2），也可以将等腰梯形分为矩形和直角三角形（如图3），这里主要是仿照平行四边形、矩形、菱形、正方形研究的相关路径，也是这些知识的迁移应用，可以促使学生深化理解本章知识.

案例2 圆内相交弦的关系

在九年级下册“6.4探索三角形相似的条件（五）”一课的例6后，设置如下问题：

如图4，在⊙O中，弦AB与CD相交于E点，AE=3，AB=7，CE=2，求CD的长.

这个微拓展问题实际上是将本节知识在圆中进行了迁移.相交弦定理已经不再在教材中出现，但这一知识在圆中有着广泛的应用，而相交弦问题可以用相似三角形知识解决，也是相似三角形知识的直接应用.这里，迁移应用知识的过程也是提高学生解决问题的能力和水平的过程.

二、方法型微拓展 要突出转化化归

方法型微拓展问题的显著特征就是其中蕴含了重要的数学方法，这里的方法不仅有解决特定数学问题的具体方法，如因式分解的方法、解方程（组）的方法、三角形全等的判定方法、图形变换的方法等，也有研究问题的一般方法，例如从特殊到一般、从合情推理到逻辑推理的方法等.设计方法型微拓展问题就是要在方法上做足文章，突出转化化归，帮助学生能熟练运用这些方法研究问题，以求达到举一反三的效果.

案例3 探索四元一次方程组的解法

在七年级下册第10章“三元一次方程组”一课的“思维拓展”中，设置如下问题：

（1）议一议：如何解四元一次方程组[2x-y-z=0，x+z+w=4，3x+y-2z=1，x+y-3z-w=-5？]

（2）做一做：学生自主探索解此四元一次方程组的方法.

这个微拓展问题主要是用消元的方法解四元一次方程组.在前面的教学内容中，已经有了用消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组，这里再一次使用这个方法，有助于学生进一步领会消元法的实质.实际上，类似的素材还有很多，例如探索方程[x+2]-x=0的解法；探索方程组[2x+y=0，xy+y2=-18]的解法等，利用这些素材可以突出转化和化归的解题方法.

案例4 二次函数图象变换与表达式

在九年级下册“用待定系数法确定二次函数表达式”一课的例2后，设计微拓展问题：

（1）将二次函数y=x2-1的图象绕其顶点逆时针旋转180°，写出所得图象的函数表达式.

（2）将二次函数y=（x-1）2的图象以x轴为对称轴进行翻折，写出所得图象的函数表达式.

这个微拓展问题实际上是将本节所学的待定系数法进行了深化.本例中将二次函数的图象进行图形变换，然后要求所得图象的二次函数表达式，这里涉及如何将原二次函数图象变换转化为其图象上的一些特殊点的变换，然后转化为利用这些变换后的特殊点和待定系数法求出新的二次函数表达式.

案例5 探索分解因式的方法

在七年级下册第9章“多项式的因式分解（四）”一课的例8后，设置如下问题：

把下列各式分解因式：

（1）x2-y2-2x-2y；

（2）x2-2xy+y2-1.

分组分解法分解因式在本例中只是作为背景出现，上述两个问题可以利用公式法、提公因式法，直接通过转化进行因式分解.这是对已学过因式分解方法的巩固和灵活运用.

三、实践型微拓展 要强调数学建模

对于某些教学内容，设置实践型微拓展问题，可以通过学生的操作实践，形象地揭示蕴含在相关知识中的实质内涵，当然学生在这个探究过程中也可以增加直观感受，加深对一些抽象数学知识的理解，同时积累数学活动经验.设计实践型微拓展问题，要强调数学建模，以增加此类问题的教学价值.

案例6 折出一个等腰三角形

在八年级上册“等腰三角形的轴对称性（一）”一课的开始，教师给每个学生发一张三角形纸，如图5，出示如下问题：

（1）讨论：要在一张三角形纸片上折出一个等腰三角形，你准备怎么折？有几种方法？

（2）操作：只用剪刀剪一刀，在三角形纸片上剪出你折的等腰三角形.

由于课本中等腰三角形的有關性质是放置于《轴对称性》这一章中，是在几何变换的框架下来研究的，而本课的难点是让学生从等腰三角形的轴对称性出发来研究问题.上述教学设计要求学生先想后剪：怎样剪才能剪出一个等腰三角形？逐步从轴对称性来寻找解决问题的思路与方法.如图6所示，只要将点A折叠到点E，那么，沿着线段CE剪一刀就能剪出等腰三角形AEC.本题实际上所使用的数学模型是等腰三角形的“三线合一”.此外，本题还可以采用角平分线与高合一的方法折等腰三角形.

案例7 画平行线

在八年级下册“9.3平行四边形（三）”一课的例3后，设置如下微拓展问题：

如图7，只用一把有刻度的直尺，过点C画出AB边的平行线.

此操作具有一定的挑战性.首先要解决的问题是“只用一把有刻度的直尺，能画哪些图形？”学生在尝试、猜测的过程中可以得出：可画等腰三角形、平行四边形等，而本例就是通过平行四边形这个数学模型，如图8，先在BC上找出中点E，然后联结AE并延长至D，使得ED=AE，联结CD，便可得AB的平行线.类似的微拓展问题还可以编制许多，例如：

如图9，只用一把有刻度的直尺，判断∠A是否是直角.

本例可以采用等腰三角形（如图10）、三边长符合勾股定理的三角形（如图11）等知识来解决问题.

总之，数学微拓展问题由于与学生学习内容高度相关，又新颖别致，富有挑战性，因此深受师生喜爱，设计好数学微拓展问题，对改善教与学的过程，突出学生主体地位，提高学生的数学综合素养具有特别重要的意义.endprint