呈现出题脉络破解思维难题

骆金　何娜

摘 要：为减轻学生的解题负担，教师可以从研究题目的编制规律入手，揭示解题的基本思想和方法，并且让学生共同参与编题与解题的全过程，有助于学生打开思维的脉络，体味主动学习的乐趣，变“要我解”为“我要解”.

关键词：脉络；思维；生题

在各地的数学中考试卷中，函数与几何相结合的综合题频繁出现.这类题是考查学生灵活运用初中阶段所学知识来分析和解决问题的一个重要手段和方法.但对初中学生来说难度颇高，它不仅要求学生沟通题目中自变量、函数在几何图形中所表示的量之间的关系，而且要求学生会运用“函数与方程”“数形结合”“分类讨论”等数学思想解决问题.在以往的教学中教师往往要求学生解大量此类题目，以期达到理解掌握的目的.但学生解完后还是一脸疑惑，不知道来龙去脉.能否从破解题目编制的奥秘入手，让学生通晓并掌握解决此类问题的基本思想和方法？为此，本文将重点探索此类题目的编制脉络，并从三个方向，即“顺向”“逆向”和“纵向”展开研究，绘制出题目“生长”的线路图（如图1所示）.

一、顺向“生题”

顺向“生题”，就是已知函数的解析式，求内接几何图形与函数的交点坐标，继而可求内接图形的边长、周长和面积等.

因为函数的解析式已知，也就是函数图象

上一点的横纵坐标之间的一个等量关系已知，所以只要再另添一个横纵坐标之间的等量关系，就可求得该点的坐标.而添加的这个关系可以直接用“数”（方程）的形式给出，也可以利用“形”（几何图形中隐含着线段之间的数量关系）间接获取.以下举例说明.

如：已知函数[y=-33x+433]的图象l，若要求图象上一点A的坐标，需要再增加什么条件？

此时增加最直接的条件是已知点A的横坐标或纵坐标，但间接地只要已知点A的横坐标与纵坐标的等量关系.而这个关系可以借助函数的内接几何图形给出.所以点A是连接函数与其内接几何图形的媒介.

如图2，我们可以放入等边三角形OAB，其中点B在x轴上，点A在l上.此时若设点A的横坐标为m，则其纵坐标就为[3m]，因为点A在函数[y=-33x+433]的图象上，所以[3m=-33m+433]，解得m=1，所以点[A （1，3 ）].继而可求得△OAB的边长、周长、面积等.

（一）换图

（二）换线

我们还可以改变函数的类型，将一次函数改换成反比例函数（图4）和二次函数（图5）等.

（三）增加个数

内接图形的个数也可以从一个变成多个.如图6、图7.

（四）图形运动

我们可以对给定的几何图形（或其一部分）施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后分析新的图形与函数图象之间的关系.

如对于前述的一次函数和内接等边三角形OAB，我们可以作如下的运动变换：

①如图8，将△OAB沿y轴平移到△[O'A'B']，使点[B']在直线[l]上，问平移的距离是多少？

此时因为[B'（2，233）]，所以需平移[233]个单位.

②如图2，求△OAB关于直线[l]的对称三角形的顶点坐标.

解决此类问题只需将图形变换带来的“不变”特征定量地反映到点的坐标上.

二、逆向“生题”

逆向“生题”，就是已知内接图形的边长或半径等，求函数解析式.

求函数的解析式也就是求解析式中的待定系数，而确定系数的条件可以直接给出图象上点的坐标.但为了增加思维的含金量，我们可以嵌入内接几何图形，通过数形结合间接地求出点的坐标.以下举例说明.

如图2，已知函数[y=-33x+m]的图象[l]，以及边长为2的等边三角形OAB，其中点B在x轴上，点A在l上，求m的值.

此时可求得点A的坐标为[ （1，3 ）]，代入函数解析式得m=[433]，这样就变成了函数关系式已知的问题，又可以进行上述的“顺向”生题的探索.

三、纵向“生题”

纵向“生题”，就是利用函数图象或内接几何图形中的点，构造出新的图形或图象.

我们可以选取图象或内接几何图形中的某些点来构造新的几何图形，如三角形、四边形、圆等，并可进一步求这些新几何图形的某些量或新旧几何图形之间的关系.又可以探索新图形的存在性问题等.还可以利用它们来构造新的函数，如一次、二次、反比例函数等，从而创新生成千姿百态的函数与几何综合问题.以下举例说明.

如对于前面图2中所述的一次函数和内接等边三角形OAB，我们可以“取点”继续进行编题：

（一）构新图

③如图2，若以A，O，E，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；A，O，E三点坐标可求，此时点Q的位置有三種可能，求得Q点坐标为：[（-3，3），（5，3），（3，-3）].

④如图2，是否存在以BE为边的等腰三角形BEM，使得点M在直线[l]上？若存在，试求点M的坐标.

BE可以作为腰，也可以是底，因而点M的位置有四种可能.可求得点M坐标为：[（3，33），（1，3），（4-3，1），（4+3，-1）].

⑤如图2，在直线EF上有一动点M，在坐标系内有另外一点N，若以点O，F，M，N为顶点构成的四边形为菱形，则满足这样的点N的个数为（ ）

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

因为此时OF=FM或OM=FM，所以点N的位置有4种可能，选B.

⑥如图9，过A，B，E三点画圆，将此圆如何平移才能与x轴和y轴同时相切；有四种移法：向上平移[2-3]个单位，再向左平移1个单位；或向下平移[2+3]个单位，再向左平移1个单位；或向上平移[2-3]个单位，再向左平移5个单位；或向下平移[2+3]个单位，再向左平移5个单位.

⑦如图10，过A、O、E三点画抛物线，将△OAB沿直线[l]的方向平移到△[O'A'B']，使得点[B']在抛物线上，问平移的距离是多少？

平移距离为[AA'=BB'=3+513]，

或平移距离[AA''=OO''=51-33].

（二）求面积

⑧在直线[l]上是否存在点P，使得△PAB的面积是△OAB面积的一半？

设点P到AB的距离为h，则[h=123]，可求得与AB距离为h的两条直线解析式分别为：[y=-3x+33]和[y=-3x+3]，将它们分别与[l]联立解方程组得[P1（52，32）]，[P2（-12，332）].

⑨若点P是⑦中求出的抛物线AE段上一动点（不与A，E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值.

综上，从研究题目的编制规律入手，让学生参与教学的全过程，就能从根本上减轻学生的解题负担.并且在教学中我们完全可以让学生沿着这样的脉络自己编题，自己解题，从而体味主动学习的乐趣，变“要我解”为“我要解”.endprint