一题多解，训练学生思维灵活度

胡勤

[摘 要] 数学习题能提升学生对数学知识的理解，训练学生思维的灵活度，然而高中数学的习题教学很容易陷入“就题论题”、“拼命刷题”的怪圈. 如何让学生将题目搞透彻，如何提升学生习题练习的效率？本文提出应该引导学生多维度地研究问题的解决方法，让学生在探索一题多解的过程中提升认识、训练方法.

[关键词] 高中数学；一题多解；教学反思

高中数学教学中，学生解题能力的培养历来得到大家的普遍重视，但是重视并不意味着加大训练力度，教师要做到精讲精练，从而提高学生练习效率. 某次习题课上，笔者以一道试题为例，引导学生从多个角度来探索解题思路，寻求解答方法，借此暴露学生思维的过程，闪现学生思考的智慧，并让学生体会到学习的成功，最终取得较好效果，现将相关实录和个人体会整理如下，以供读者参考.

教学实录

上课之初，笔者通过投影设备展示以下例题：

平面直角坐标系xOy中，设f（x）=x2+2x+b（x∈R）的函数图像与两个坐标轴存在三个交点，将经过这三个点的圆记作C.

（1）请确定b的取值范围；

（2）请写出圆C的解析式；

（3）请判断圆C是否经过某个定点，而这个定点的坐标与b的取值无关？请阐述你的判断依据.

当学生充分思考之后，笔者将参考答案呈现出来，并指出参考答案的确非常巧妙、快捷，但是否还有其他的解决方法？

正所谓：“一石激起千层浪”，这一问题的提出，引起学生更加深刻的思考和探索，他们很快就提出了自己的看法.

学生甲：第一个问题求解b的取值范围，我们可以采用数形结合的方法来考虑，即研究函数图像. f（x）=x2+2x+b（x∈R）属于二次函数，这是一个开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=-1，由于b的取值不确定，因此函数图像也不确定，这样函数图像可以上下“动”起来（如图1所示）. 不难发现.为了让抛物线与坐标轴有三个交点，所以b应该满足以下条件：f（-1）<0，f（0）≠0？圯1-2+b<0，b≠0？圯b<1，b≠0，因此可以得到b的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）.

教师：很好，通过图像直观地将函数与方程之间的关系体现出来，这就是数形结合思想最显著的作用. 如果将问题调整为“已知x的一元二次方程x2+2x+b=0有两个非零的实数根，请确定b的取值范围”，我们也可以采用类似的方法吗？

学生甲：可以，依据函数与方程之间的关系，这两个问题的本质其实是相同的.

教师：好的，再来看第二个问题，参考答案是从圆的一般方程入手的，你是否有别的方法来求解圆的方程？

学生乙：我想从圆的标准方程着手尝试一下，行不行？

教师：这是一个不错的思路，值得一试.

学生从这一思路出发开始探索，也能实现问题的解决，但是运算量非常大，很多运算能力一般的学生中途败下阵来.

教师：从大家的运算可以看出，标准方程的确也是一种可行的思路，但是效率不高. 那么我们再换一个视角，依然用圆的一般方程，将其设为x2+y2+Dx+Ey+F=0，如果从圆和x轴的交点与方程根的关系入手，大家能否产生一些新的思路？

在笔者的启发下，学生又很快得到了新的解决方法.

学生丙：我们可以假设圆C与x轴构成的交点为点A（x1，0）和点B（x2，0），则x1和x2即为一元二次方程x2+Dx+F=0的两个实数根，上述方程应该与x2+2x+b=0属于同一个方程，因此有D=2，F=b. 又因为圆x2+y2+2x+Ey+b=0经过点（0，b），所以有b2+Eb+b=0，可以得E=-（b+1），代入可得圆的方程即为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0（b<1，b≠0）.

教师：这个想法很是巧妙，我们来总结一下，求解圆的方程一般有两个思路，其一是从圆的一般方程入手，其二是采用圆的标准方程.在实际操作时应该选择哪一个方程可以根据具体的条件进行灵活的选择，刚才的求解过程还表明即便是同一种思路，从不同角度来思考，也会出现不同的解题方法.学生丙解题思路最大的特点就是“设而不求”，这种解题技巧源于对方程根最为本质的理解，值得我们大家好好体会.

教师：有了上面的分析基础，对于第三个问题，请大家再思考一下，是否还有一些其他的解题思路？

经过大约五分钟的思考，很多学生都有了新的发现，下面是他们进行交流的成果.

学生丁：对于存在性问题的分析，最传统的方法是先假设其存在，然后再进行推理. 对于本题，关键点还是在于获取定点，因此我们不妨从特殊值入手，先让b分别取为 和-1，由此可得方程组x2+y2+2x- y+ =0，x2+y2+2x-1=0，可以解出x1=-2，y1=1，或x2=0，y2=1，将点Q1（-2，1）和Q2（0，1）分别代入圆的方程进行检验之后，即可确认圆有这两个定点.

学生戊：从圆的方程x2+y2+2x-（b+1）y+b=0着手，假设如果经过定点，且由于定点坐标与b的取值无关，则方程式中只有y=1时，才可以将b消掉，则此刻方程可以化简为x2+2x=0，由此可以确定两个点x1=-2，y1=1，或x2=0，y2=1，后续处理与学生丁的方法一致.

学生己：我是从一般情形入手的，即假设存在定点，则x2+y2+2x-（b+1）y+b=0对任意滿足b<1，b≠0的实数b都是成立的. 将上述方程按照b进行整理，可得（1-y）b+（x2+y2+2x-y）=0，因此有1-y=0，x2+y2+2x-y=0，可以解得x1=-2，y1=1，或x2=0，y2=1，由此确定存在两个定点，即Q1（-2，1）和Q2（0，1）.

教师：无论是从一般入手，还是从特殊入手，这些都是解决数学问题的常规思维方法，学生戊采用了较为大胆的假设和探索，进而获得结论，这体现了他对式与数存在高度的敏感性，也有很强的发现力. 这个问题还有很多值得进一步研究的价值，由于课堂时间有限，我们也就到此为止，请大家在课后再继续反思，通过刚才的讨论，你有哪些体会？

教后反思

本课的教学过程中，笔者从一道数学题开始，引导学生从多个不同的视角展开分析，由学生自主探索出很多不同于参考答案的解决方法，让原本枯燥的数学课堂显得更加生动而活泼. 虽然一节课的时间只处理了一道试题，但是学生的收获却是相当巨大的，这是传统习题课上“教师讲、学生听”的灌输式模式所不可比拟的.

在这节课上，学生先后经历了问题悬而未决的苦恼，分享了解题成功之后的喜悦，形成对相似问题深入探讨的欲望，这与新课标所倡导的“积极主动、勇于探索的学习方式”是高度统一的. 回顾整个课堂，学生热情高涨、思维活跃，每一个学生都充分融入思考和讨论的氛围之中，其思维一直都停留在“愤”和“徘”的状态下. 在教师的启发下，他们尝试着换用不同视角来展开思考和探索，让自己的创造意识和相关能力得到了充分的培养和锻炼. 围绕这一个问题所展开的一系列探究活动，包括学生精彩的表现，这些都让笔者感慨良多，也对新课程理念产生了更加深入的理解和认识.

我们在高中数学课堂上引导学生进行探究式学习，就要给予学生足够的时间和空间，从而让学生能够让自身的思维彻底接轨我们的教学活动，真正实现师生共同探究. 我们不能刻意追求课堂表面形式上的热闹，让学生停留于低层次的思维活动，这没有任何探究价值.而且如果没有真正激起学生思维的兴奋点，他们是很难主动参与到课堂探究中来的，如此探究也就失去其本来的意义，这本质上依然属于低效学习.

在问题解决的探究过程中，让学生从不同的角度来探索“一题多解”是一种非常重要的学习方式，但是“一题多解”绝不是简单的方法积累，我们应该通过一题多解，真正让学生实现知识的融会贯通，让学生的知识盲点在他们的潜意识中闪现光芒，从而提升学生对问题的理解程度，进而强化他们思维的灵活度，增强他们学习的主动意识，让他们的思维水平在多维度探索问题解决方法的过程中得到升华.endprint