“学解题”的关键——启发性提问

温建红，汪飞飞

（西北师范大学教育学院）

“学解题”的关键
——启发性提问

温建红，汪飞飞

（西北师范大学教育学院）

解题和解题教学历来备受学生和教师的重视.基于发展学生核心素养的时代背景，解题的重心将向“学解题”转变.其中，启发性提问是理解题意、探寻解题思路的关键.通过实例分析如何运用启发性提示语进行同类问题的解决.

学解题；解题教学；启发性提示语

解题和解题教学在数学教育中具有举足轻重的地位.美国著名数学家、数学教育家哈尔莫斯（Halmos）认为，数学的真正组成部分是问题和解，解题是数学的心脏；张乃达先生也曾指出，数学教育应该以解题为中心，解题教学正是达到教学目的的最好手段.我国被誉为解题大国，重视解题教学是我国数学教育的一大特色.因此，解题能力是检验学生对所学数学概念、定理、公式、结论等理解及运用的具体体现.然而，在解题教学过程中，学生懂而不会的现象时有发生，教师常抱怨：同类型的题目讲过很多遍，可让学生独立解题时就会陷入困境.究其原因，笔者认为，在解题教学过程中，教师更多关注学生解题的结果，却没有教会学生解题的思考过程或本原方法.换言之，解题教学的根本之道在于教“想”法，而非教“解”法.

一、思维嬗变：从“解题”到“学解题”

在发展学生核心素养时代背景下，以自主发展、学会学习为教育目标，培养学生具备适应终身发展和社会发展需要的必备数学品格和数学关键能力成为不争的现实.因此，解题教学的思维方式需要发生嬗变，即由“解题”向“学解题”转变.学解题是指学生在教师的引导下学会理解题意，探寻解题思路.

以“学解题”为理念实施或定位解题教学，其重点将不再是“解”而是“学解”.区别在于：以“解题”作为出发点，师生注重的更多是解题的结果.若题目做对了，就将其束之高阁，很少进一步总结和反思；若题目做错或不会做，也不曾深思，而是另请高明或查阅参考答案，一味地以结果为目的.以“学解题”作为出发点则不仅要注重结果，更要侧重解题思路的探寻，这正是“学解题”的关键所在.在“学解题”理念指导下，对于教师而言，应以学会解题、学会思考视作解题教学的首要任务，即通过教学方法或教学手段，启发学生学会学习.对于学生而言，解题学习的重点是学会探寻解题的思路，而非简单的做对题目或得出答案.

二、思路探寻：运用启发性提示语

波利亚在《怎样解题》中指出，解题包含理解题意、拟定计划、执行方案、回顾四个阶段.波利亚特别强调，理解题意是解题学习的第一环节，善于解题的人用一半时间理解题意，用另一半时间来完成解答，足见理解题意的重要性.然而，在实际解题过程中，学生并没有真正树立理解题意的意识，往往匆忙将题目读完，不做充分思考就动笔求解，其学习结果往往事倍功半；即使教师意识到理解题意的重要性，但在解题教学中并没有施行具体可行的方法.因此，以理解题意为根基教学生“学解题”是亟待重视与解决的问题.其中，启发性提示语是“学解题”的关键，正是这些具有启发性、过程性、层次性、暗示性等基本特征的启发性提示语，使得教师的教学更加游刃有余，学生“学解题”更加豁然开朗.涂荣豹教授曾提出如下的一套理解题意的启发性提示语.

（1）它是什么？如何表示？还能如何表示？

（2）它有什么性质？如何表示？还能如何表示？

（3）它们有什么关系？如何表示？还能如何表示？

（4）由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？

（5）中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？

（6）它是否与某道解过的题有联系？能否利用这种联系？

显而易见，诸如此类的启发性提示语具体、直观、可操作.教师在实际解题教学中，不妨根据具体题目，恰当运用启发性提示语引导学生理解题意，探寻解题思路.毋庸置疑，有时教师使用其中几句启发性提示语，学生就会受到启发、茅塞顿开.更重要的是，教师要潜移默化的教会学生能够运用启发性提示语进行自我启发以理解题意、探寻解题思路.

三、应用举隅：运用启发性提示语教学生“学解题”

例1如图1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？

图1

此题源于北师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册“5.3简单的轴对称图形”的一道习题，在其他版本教材也有不同形式的呈现.在解题教学中，教师可以通过以下启发性提示语，引导学生探寻解题的思路.

（1）例1中的示意图（图1）能否进一步抽象成几何图形？

（2）PA+PB还能如何表示？

（3）利用什么原理说明“距离之和最短”？

学生在教师启发性提示语下，通过探究得到解题思路：将图1抽象成如图2所示的几何图形.

图2

图3

如图3，作点A关于直线l的对称点A′，则PA+PB可转换表示为PA′+PB，连接A′B，交直线l于点P.根据“两点之间线段最短”的基本事实，易知线段A′B最短，因此奶站应建在街道点P处，才能使居民区A，B到它的距离之和最短.

当问题解决之后，教师应进一步引导学生对问题和解题过程进行反思与总结，以便与相关问题建立联系，并能触类旁通、学以致用.例如，通过例1的解题思路，得到如下较为一般的问题.

问题：在直线同侧存在两定点，要在直线上求一动点，使其到两点的距离之和最小.

解法：作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点和另外一个定点所形成的线段，其与原来直线的交点即为所求的动点.

接下来，另举几例管窥如何在“学解题”过程中运用启发性提示语进行同类问题的解决.

例2如图4，正方形的边长为8，M在CD上，且DM=2，N为AC上的一动点，则DN+NM的最小值为________.

面对一个新的问题，教师需要花一定的时间让学生学会理解题意，进而提出以下问题，以启发学生探寻解题思路.

图4

（1）它是什么？如何表示？还能如何表示？

正方形对角线上存在一个动点，要求线段和的最小值.

（2）它有什么性质？如何表示？还能如何表示？

正方形性质：AB=BC=CD=DA，顶点D与顶点B关于对角线AC对称.

（3）它们有什么关系？如何表示？还能如何表示？

点N在AC上位置不同，DN+NM的值不同.

（4）由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？

由CD=8，DM=2，可得CM=6.

（5）它是否与某道解过的题有联系？能否利用这种联系？

以前已解决线段和的最小值问题，两个问题具有相似性.

在最后的启发性提问中，如果学生能发现例1和例2之间的联系，那么解题就有了明确的方向，关键之处在于建立联系及如何作（或找）对称点.

首先，通过将例2和例1进一步对照发现，例1中的街道l在例2中就是正方形的对角线AC，正方形顶点D和边长DC上的点M，就是例1中的两个居民区A和B；其次，由例1的启发，要确定点N的位置，就是找点D或点M关于AC的对称点；最后，通过迁移分析发现，根据正方形的对称性的特点，点D关于AC的对称点就是点B，比找点M的对称点更简捷明了.因此，连接BM，它与AC的交点N，即为DN+NM的最小值时的位置，BM的长度即为题目所求，解题过程如下.

解：如图5，将图4逆时针旋转45°与例1中的图2进行直观对照.在正方形ABCD中，点D关于对角线AC的对称点为点B，连接BM交AC于点N，此时DN+NM的值最小，最小值就是BM的长.

图5

在Rt△BCM中，

故DN+NM的最小值为10.

在例2的求解过程中，启发性提示语“它是否与某个解过的题有联系？能否利用这种联系？”为解题思路的探寻起到了很大的作用；另外，启发性提示语“它有什么性质”，即“正方形顶点B和点D关于对角线AC对称”的性质挖掘为简洁的解题奠定基础.

例3如图6，MN是圆O的

直径，MN=2，点A在圆O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_______.

图6

教师运用启发性提示语“这是一个什么问题？要求什么？”启发学生理解题意，即在圆O的直径MN上求一点，使两线段和最小；另外，在提示语“它是否与某道解过的题有联系？能否利用这种联系？”更为直接的启发学生通过比较后会发现，例3和例1（或例2）具有相似性.因此，解题方法就是根据圆的对称性或垂径定理，作点A（或点B）关于直径MN的对称点，具体解题过程如下.

解：如图7，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P就是所求的动点.此时PA+PB的值最小，且等于AC的长.

图7

连接OA，OC，

因为∠AMN=30°，所以∠AON=60°.

又因为B为的中点，所以∠BON=30°.

所以∠CON=30°，即∠AOC=∠AON+∠NOC=90°.

又OA=OC=1，则在Rt△AOC中，由勾股定理易知

例4如图8，已知A(1，3) ，B(5，-2)，在x轴上找一点P，使|AP|-|BP|的值最大，求点P的坐标.

图8

此题欲求两条线段距离之差的最大值，教师同样运用启发性提示语“它是否与某道解过的题有联系？能否利用这种联系？”加以引导.

学生已解决如例1中两条线段和的最小值，已知的两点位于直线的同侧，但此题已知的两点位于直线的两侧，且欲求两条线段差的最大值，两者之间存在某种联系，但又有所不同，这就需要借鉴前面几道题的解题思路进行逆向思考.具体解题过程如下.

解：如图9，作点A(1，3)关于x轴的对称点A′，则A′(1，-3)，连接A′B并延长使其与x轴相交，即交点P就是满足条件的点.

图9

设 过 点A′(1，-3)， B(5，-2)的直线方程为y=kx+b(k≠0)，

即A′B所在直线方程为

所以当y=0时，x=13，即点P坐标为P(13，0).

四、结束语

日本数学教育家米山国藏曾说，数学充满着统一建设的精神，无论表面看起来多么的不同，同类问题都可用同样的方法处理.作为一名教师，应该采取这样一种态度，即抓住所要教的内容的本质，把其精髓教给学生.在解题教学过程中，教师需要尝试通过各种启发性提示语，让学生学会发现问题的特点，学会建立不同知识之间的联系.另外，学生通过解题教学，不仅仅是学会解题，更重要的是学会研究问题的方法，学会思考，学会从不知开始，一步一步地达到问题的核心，直至最终的构建和解决，从而使学生的观察力、判断力等各种认识力得到发展和提高.

［1］顾广林.基于认知心理谈几何题的解题教学［J］.中国数学教育（初中版），2016（12）：15-17.

［2］涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论［M］.上海：华东师范大学出版社，2006.

［3］G·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法［M］.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.

［4］韩龙淑.数学教学中启发性提示语的特征及运用［J］.教学与管理，2010（1）：59-61.

［5］马复.《义务教育教科书·数学》（七年级下册）［M］.北京：北京师范大学出版社，2013.

［6］米山国藏.数学的精神、思想和方法［M］.毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.

2017—06—29

甘肃省教育科学“十三五”规划2016年度重点课题——数学学案导学教学模式研究（GS［2016］GHBZ013）；甘肃省高等学校2016年度科研项目——学案导学教学模式研究（2016B-015）.

温建红（1974—），男，副教授，主要从事数学课程与教学论研究.