方法溯源 回归自然——一类反比例函数与图形综合试题的解法及思考

李云萍，李申兵

（浙江省龙游县教育局教研室；安徽省舒城县第二中学）

方法溯源 回归自然
——一类反比例函数与图形综合试题的解法及思考

李云萍，李申兵

（浙江省龙游县教育局教研室；安徽省舒城县第二中学）

综观近几年浙江省各地中考数学试题，发现反比例函数与图形综合问题知识覆盖全，综合能力高，能全面考查学生的核心素养.细细琢磨这些试题，发现这类问题的解决方法、解题思路都有着如出一辙的相似.解题教学中，教师要努力引导学生把问题的知识考点、题型结构、试题类型、条件与结论的关系等理解透彻并及时进行反思归纳，还要有意识地强化对自然解法的把握，不断运用它去发现问题、解决问题，理解、记忆、内化结果应该是解题教学关注的重要目标.

解题教学；自然解法；设参数法

笔者认真研究了2016年浙江省10个地区中考数学试题，发现有6个地区的填空压轴题均以反比例函数为知识载体，辅以三角形或四边形等内容的综合.无独有偶，2015年浙江省各地中考试题也有5个地区的填空或选择压轴题以反比例函数为知识背景.可见，反比例函数是初中数学的核心知识、高频考点，是每年各地中考试题中必定出现的题型，且通常以填空题的形式呈现居多，此类问题知识覆盖全，综合能力高，能全面考查学生的学科核心素养.细细琢磨这些试题，发现这类问题的解决方法、解题思路都有着如出一辙的相似，故异中求同，感悟方法，整理成文，以抛砖引玉，求教大方.

一、试题呈现及分析

例1（2016年浙江·宁波卷）如图1，点A为函数(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为______.

图1

解：设点A，B的坐标分别为

由于点C是x轴上一点，且AO=AC，

可得点C的坐标是C(2a，0).

另可求过点O和点A的直线解析式为

【评析】此题涉及反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质等考点，所求三角形面积与A，B两点位置相关联，故可通过设参数法假设这两点的坐标来解决.

例2（2016年浙江·丽水卷）如图2，一次函数y=-x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接OA，OB，过点A作AE⊥Ox于点E，交OB于点F.设点A的横坐标为m.

图2

（1）b=_________（用含m的代数式表示）；

（2）若S△OAF＋S四边形EFBC=4 ，则m的值是______.

解：（1）（过程略）.

（2）（方法1）如图3，作BN⊥OC于点N.

设点A的坐标为

图3

所以AD=BC，OD=OC，OE=BN=CN=m，

因为OE=m，

故点B(2m，m)代入反比例函数，得2m2=4.

由m＞0，得

（方法2）如图4，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N.

图4

故AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN.

记△AOF面积为S，则△OEF面积为2-S，四边形EFBN面积为4-S，△OBC和△OAD面积都是6-2S，△ADM面积为4-2S=2(2-S).

所以S△ADM=2S△OEF. 得

将点B坐标代入直线

整理，得m2=2.

由于m＞0，故得

【评析】此题考查反比例函数中k的几何意义、面积转换及反比例函数图象的轴对称性，方法1通过设点A的坐标，建立参数，借助面积变换，建立含参数的代数式或方程，从而求解.方法2通过设元S（即△AOF的面积），由已知的面积关系等式，设而不求得出△ADM的面积是△OEF面积的2倍关系，进而得出点B的坐标，代入求解m的值.

例3（2016年浙江·温州卷）如图5，点A，B在反比例函数的图象上，AC⊥Ox，BD⊥Ox，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k.已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是____.

图5

解：（方法1）已知E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，易得2S△ABD=S△BAC.

（方法2）已知E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，易得2S△ABD=S△BAC.

又由AC⊥Ox，BD⊥Ox，可得AC=2BD.

得AC=3.

故AB=6.

设线段AB与x轴交点为点F，

由△BDF∽ACF，得

可求得AF=4，

所以k=OC·

【评析】此题考查反比例函数中k的几何意义、特殊三角形性质、相似三角形的判定及性质等.方法1思路比较简单，但计算有些繁杂，通过设三个元，假设出A，B两点坐标，由所给已知条件建立三个含参数的方程从而求未知数k.方法2没有另外设元，而是直接把比例系数k（或CD长度）当作参数，依据k的几何意义，从三角形面积入手，通过等积法，建立含参数k的方程，求出AC的长，再进一步求k的值.

二、对解题教学的建议

1.反思解题经历，提升解题能力

数学教育家弗赖登塔尔指出，反思是数学思维活动的核心和动力.美国数学教育家舍费尔德曾说过，要善于求取解答并继续前进.所以，解题后教师要引导学生把问题的知识考点、题型结构、试题类型、条件与结论的关系等理解透彻，并及时进行分析、归纳.这样做，有利于帮助学生总结解题规律，优化解题方法，积累解题经验，培养解题技能，巩固学习内容，全面掌握知识，真正提升学生的解题能力.

（1）异中求同，方法感悟.

上文三道试题文字表述及求解方式不尽相同，但展示的每种解法的原理都相同，通过点的坐标或线段长设定某个参数解决，此法可称作设参数法，即通过设元或设参，也就是将几何图形的若干性质转换成若干数量关系，其核心在于通过设元设参的经验运用，将隐藏在反比例函数中的图形关系代数化，巧妙沟通反比例函数与几何图形之间的联系，达到解决问题的目的.关于设参数法，可帮助学生进行如下步骤总结：设参，即选择适当的参数，参数个数可取一个或多个；用参，即建立含参数的代数式或方程；消参，即通过运算解出参数或消去参数，使问题得到解决.诚然，任何一个问题定会有多种不同的思路和途径，但一种类型的问题，不同的呈现形式，却有着类似的自然解法，那就值得我们在平时课堂教学中引导学生进行一些反思和总结了.

另有2016年湖州市中考试题第16题、衢州市中考试题第16题和绍兴市中考试题第15题均是反比例函数与几何图形综合的一类问题，几乎无一例外运用的都是设参数法，限于篇幅，不再一一另解.细细琢磨近几年浙江省各地的中考试题，笔者发现2015年宁波、绍兴、湖州、金华、丽水5个地区，2014年湖州、绍兴、温州、衢州、义乌、宁波6个地区中考试卷同样都出现反比例函数与几何图形的综合试题.认真研究这些同类问题，发现往往都需要通过待定参数将反比例函数上点的坐标特征转化为线段图形的数量关系，再进一步求解.可见，设参数法对此类问题的秒杀作用不容小觑.

（2）数形结合，游刃有余.

函数与图形综合题所聚焦的核心思想应是函数本质的对应思想、数形结合思想、化归转化思想等，数形结合思想尤其在这类问题上体现得淋漓尽致，这也是函数综合题所关注的核心内容.我们知道，“数”和“形”是数学中最基本的两个概念，数缺形时少直观，形少数时难入微.史宁中教授曾指出，数形结合首先是对知识技能的贯通和理解，然后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认知和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必须要求的.所以，解题教学时教师要引导学生做到眼中有“形”，手中有“数”.如上文三道试题，其解题过程虽有不同，但均对数形结合思想的渗透进行了很好的阐释，也就是在观察分析双曲线与几何图形的基础上，通过假设一个或多个参数，带着这个参数思考问题，打通图形间的联系，用字母或代数式表示其数量关系，将问题数量化，将图形代数化，通过以形助数，以数解形，双向给力，互为融合，顺势而思，自然转化，达到快速、高效解题的目的.

（3）提炼套路，形成模型.

解题后，教师要引导学生加强同类问题的小结与反思，并加以总结提炼，建立解题方法的基本模块.孔凡哲教授曾说，从某种意义上说，解决问题就是一种模型化的过程，如相似三角形内容中常见的一线三等角模型、8字型、A字型、旋转型，等等.本文呈现的试题是反比例函数与几何图形综合，也是一种常见的几何模型，蕴含k的几何意义，解决问题的套路大致可以提炼如下三点：一看能否借用几何直观，探寻以数解形的思路；二看图形的数量关系能否借助设参数或设元来转化；三看如何将所设元或参数转化成线段长，并建立等量关系求解.这些套路的提炼，对一类问题解法的模型形成大有裨益，使学生在教师不断潜移默化作用下终能熟练解决问题.

教学经验表明，不少学生对含参数的反比例函数综合题适应性不够，主要原因是参数的伪装，使得学生不易看到问题的结构和本质，或者是不能排除反比例函数图象干扰，从而造成解题障碍.对于这类试题，应对的策略就是要在平时的解题教学中，引导学生通过设点坐标或线段长，建立参数脚手架，然后排除函数干扰，分离图形，识别几何模型.

2.关注自然解法，提高解法效用

我们知道由于解题者的数学素养不同，如知识面的宽窄，掌握案例的多少，联想能力，灵活运用能力等，在解答某些数学问题时，不同的解题者有不同的解法，但贴近学生实际的平民解法，可以称之为自然解法.关于自然解法，近期也阅读了相关文章，笔者认为，上文三道试题展示的解题思路可以提炼套路，可以归纳方法，可认作自然解法，也就是基于学生现有经验，源于学生最近发展区的解法，也是最先想到或最容易得到或最易上手的方法.譬如本文阐述的设参数法就是针对函数与图形综合问题的自然解法，更是通俗之法，常规之法，大众之法，它是解一题、连一片、通一类的根本大法.因此，教师在解题教学后要引导学生总结、提炼问题解法的多样性及归一性，关注一题多解，同样也要关注同类问题的自然解法.

张景中先生认为，一种方法解很多题，要好过很多种方法解一道题.这一种方法绝不是技巧性强，灵机一动的妙法，而应是最基本、最重要、最自然的通法.上述案例就是通过设参数，从点的坐标、线的图象、形的关系等视角，思考其解决函数与图形综合问题的自然通法，它可以很好地实现一法多用、多题归一，从而简缩思维形式，加速思维进程，降低思维能耗，对学生的解题方法的迁移也具有积极的正能量作用，生成的方法自然会开花结果.在解题教学时，我们要有意识地强化对自然解法的把握，不断运用它去发现问题、描述问题、解决问题，理解、记忆、内化结果应该是解题教学关注的重要目标.当然，我们指导学生解题崇尚自然和常规，追求问题的自然解法，把解题后的分析、归纳落于实处，才会造就更多自然解法的生成与完善.

［1］刘华为.基于知识溯源探究解法自然［J］.中学数学教学参考（中旬），2016（5）：44-46.

2017—07—06

李云萍（1973—），女，中学高级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.