用三种方法探究反正切与反余切的关系

2017-08-17 13:18赵维
文理导航 2017年23期
关键词:不定积分高等数学

赵维

【摘 要】反正切函数arctanx和反余切函数arc cotx在高等数学中微积分这部分内容中应用甚广。由于对不定积分∫f(x)dx=F(x)+C中常数C的错误理解,得出arctan x与arc con x互为相反数的错误结论,由此引发对arctan x与arc cot x之间关系的探讨。文章从arctan x与arc cot x的定义和拉格朗日中值定理两个方面出发证明得到arctan x与arc cot x=的正确关系,再重新理解不定积分的定义与性质,分析出现错误的原因,加深了对不定积分的理解。

【关键词】arctan x;arccot x;高等数学;不定积分

1.研究的背景、目的

本文是在高等数学上册(同济版第六版)不定积分章节的课后习题里产生的疑问,通过翻阅资料,解决了疑问。希望通过对反正切与反余切关系的探讨,能深刻地理解微积分的相关知识,培养善于思考、提出疑问、解决问题的能力。

2反正切arctanx与反余切arccotx

2.1反函数及其导数

y=tanx的反函数=>y=arctanx(x∈(-∞,+∞),y∈(- , ))

y=cotx的反函数=>y=arccotx(x∈(-∞,+∞),y∈(0,π))

(arctanx)'= ,(arctanx)'=-

2.2不定积分

2.2.1原函数与不定积分的概念

定义1如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一x∈I,都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数。

定义2在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作 ∫f(x)dx。

对两个定义有两点说明:

第一,如果f(x)在区间I上有原函数F(x),使对任一一x∈I,都有F'(x)=f(x)那么对任何常数C,也有[F(x)+c]'=f(x),即函数F(x)+C也是f(x)的原函数。

第二,如果在区间I上F(x)是f(x)的一个原函数,那么f(x)的其他原函数与F(x)之间仅相差一个常数。

2.2.2基本积分表

(1)∫ dx=arc tanx+C,(2)∫- dx=arc cot x+C

2.3arctan x与arc cot x的关系

高等数学 第六版(上册),此教材里习题4-1中的2.(25):求不定积分∫ dx

方法一:原式∫(1- )dx=x-arctan+C

方法二:原式∫(1+ )=x-arccot+C

根据不定积分的定义知道,两种解法都正确。由等式的性质知x-arctanx+C=x+arccotx+C,即arctanX+arccotX=0......(2)

这个结论正确吗?下面用三种方法来探究两者间的关系:

(1)从arc tan x和arc cot x的定义去探究

设α=arctanx∈(- , ),β=arccotx∈(0,π)则x=tanα=cotβ tanα=tan( -β) α= -β α+β= ,

即arctanx+arc cot x= ......(3)

(2)用拉格朗日中值定理来探究

令f(x)=arctanx+arccotx(x∈(-∞,+∞))则f'(x)= +(- )=0

设x0

由此两种方法结论为arctanx+arccotx= ,结论arctanx+arccotx= 究竟错在何处?

方法三:(定积分的定义)着重理解定积分中的常数C。

上述法一:∫ dx=x-arctanx+C1,法二:∫ =x+arccotx+C2(C1、C2为任意不同常数)

根据f(x)的其他原函数与F(x)之间仅相差一个常数知:x+arccotx+C2-(x-arctanx+C1)=arccotx+arctanx+C2-C1=C0(C0为常数)则有arctanx+arccotx=C0+C1-C2,则arctanx+arccotx等于常數(C0+C1-C2),该常数为上述证明得到的 。

3.结论

通过以上的探究得到arctanx+arccotx= 。这个结论的获得启示学习者要多思考,多探究,多反思,培养善于发现、敢于提问、勇于探索解决问题的精神和能力。

【参考文献】

[1]同济大学数学院.高等数学,第六版上册[M].北京:高等教育版社,2007.4

[2]普通高中课程标准实验教科书数学必修1,人民教育出版社A版

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