浅谈合情推理在初中数学教学中的应用

张宗川

【摘 要】推理能力是中学数学要求的基本能力与技能之一，而合情推理和演绎推理是推理的两种不同形式。合情推理是根据已有的事实或一些特殊情形对结论进行观察、分析、比较、联想、再进行归纳、类比，再提出问题形式特殊化的猜测推理模式。对初中学生而言，数学结果对于学生而言过于形式化，因此演绎推理在初中数学的运用还不适合，于是合情推理便成推理的主要模式。本文浅谈合情推理在初中数学教学中的一些应用，这样可以提高数学教学效率，更主要的是能帮助学生提高其推理能力和解决问题的能力。

【关键词】合情推理；初中数学；类比；实践；思考；归纳

随着初中数学知识难度的上升和数学模式的不断深化，合情推理的运用能力也在不断提升，初中生感性认知大于理性认知，因此合情推理也成为他们推理过程中主要运用的一种推理模式。初中数学新的知识较多，问题的形式也是千变万化，合情推理能力若得不到有效的提升，会造成他们只会就题论题，而不会对知识有一个融会贯通。大多数中学生最怕的数学问题以应用型问题的形式出现，学生的成功率则会大大降低，从一个侧面说明学生合情推理的能力并没有跟上数学问题的发展。作为一名数学教师如何去提升学生的合情推理能力呢？笔者就从本文出发一窥究竟—浅谈合情推理在初中数学教学中的应用。

1.合情推理的界定

1.1合情推理的概念

合情推理是G波利亚首先提出的，他认为个人会依据存在的事实和已经获得的正确结论为前提（包括各种各样的经验和外部成果），以及个人的直觉猜测去推理未知问题的一种推理模式。这样的推理从观察、分析、猜测出发，依据个人的数学直觉，通过类比、联想、归纳、提出猜想，是比较符合感性认知较强的中小学年级的学生，因此初中数学中合情推理成为常用的推理模式，合情推理中常用的思维方法有两种：归纳推理和类比推理。新课标中指出“学生通过义务阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步演绎推理能力”。合情推理在解决问题时，常常具备对问题的猜想和结论的类比，因此对思维程度较浅的初中生来说，极易培养他们的创新意识。

1.2合情推理的意义

波利亚一再呼吁数学问题是千变万化的，有些是解题的多变化，有些是从二维上升到三维层面的思想转变等等，只要对学生进行有效的引导，就能不断培养学生在数学学习过程中使用合情推理的意识。丘成桐院士曾在多个场合谈起我国的中学数学教育：“现在的中学数学过于依赖做题目，而缺乏培养学生的数学兴趣。做那么多重复的题目干什么？浪费学生宝贵的时间。依我看来，培养学生在数学中的兴趣，对数学问题的广泛认识，并从中能够去猜想、创造，这才是我们需要去做的工作。”因此，笔者以为，初中数学致力于培养学生的数学思维，从已知的知识去开拓未知的知识是我们教育学生运用合情推理的意义所在！数学教学需要合情推理，就像黑暗中的一盏明灯，对合情推理的教学必需予以重视，要从多方面的角度进行多元化的尝试。

2.合情推理的实践

新课程的理念是着力培养学生的动手能力、创新能力，开发其在数学学习过程中主动建构、摸索知识形成的过程，因此教师努力在教学中渗透合情推理的思想、在解题教学中冠以合情推理的尝试、在计算机辅助教学结合合情推理、在课后的数学探究中多多进行合情推理的合作，那么通过全方位、多元化的手段对学生进行合情推理模式的熏陶，这样我们不仅仅教会学生数学的基本知识和基本技能，也提高了学生用已知知识去应对未知问题的能力，这不正是和新课程理念殊途同归吗？

2.1在概念教学中的运用

初中数学的函数概念是在从具体向抽象转变的一个概念（北师大版九年级），非常的形式化，笔者是这样尝试合情推理的教学：

师： 我们怎么看待自变量x呢？对大家而言，x就是土豆！我们把对应法则f它看成土豆加工机，函数值y可以看成是各种土豆食品，如图：

生：这样，我就比较能理解什么是函数关系了，这个推理很恰当。

师：函数是中学数学最重要的概念，比如就是一个函数，请大家想想还有其他的函数吗？

生：比如y=2x，y=x 等等。

说明：笔者前半部分采用了“情境式教学”，用新颖的“土豆加工机”给直观、感性理解能力较强的初中生带来了概念学习的轻松化，后半部分则采用“启发式教学”——举例曾经学过的函数，并启发学生真正进入函数概念的世界，整个教学过程中轻松的以合情推理的方式，将类比推理运用的恰到好处，教学方式新颖，引入“土豆加工机”来烘托枯燥概念带来的不足、点燃了课堂的氣氛，让学生充满活力、饶有兴趣的面对整个中学数学中最难、最重要的概念，进而轻松破解纳入自己的知识体系.笔者想，若我们教学中多份这样的合情推理，那么尽管我们的学生在若干年之后可能记不起数学知识，但是永远不会忘记教师教给他的那份学习的自信和轻松。

2.2在中考解题中的体现

合情推理在解题教学中有着重要的考查，如各地每年中考卷中，常常出现以合情推理为考查对象编制的中考试题，这些问题难度适中，主要是从研究考题规律的角度去寻求问题的答案，将合情推理演绎的淋漓尽致。

2013年沈阳中考，有一组等式：1 +2 +3 =3 ，2 +3 +6 =7 ，3 +4 +12 =13 ，4 +5 +20 =21 ……，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为_____。

以上中考题考查了学生的合情推理能力，应该来说对中等以上的学生来说难度不大，平时教学中也有所体现.这些问题的在试卷中一般属于中档试题，有一定的区分度，重点在于区分学生能否运用推理能力将未知情境的问题融入到已知知识中去解决，关于上述问题的答案，限于篇幅不赘述。

2.3在计算机辅助教学中的尝试

合情推理随着计算机辅助教学在数学教育方面的广泛使用，也正在受到越来越重视.笔者觉得计算机辅助教学正体现出越来越强大的交互功能，在教学中（尤其是公开课），师生可以通过交互性使得学习的过程得以完美的展示，而且计算机辅助教学和合情推理的结合，使得推理教学达到了高效、简捷，又富于变化，使得既确保教学目标的顺利进行，又保证学生积极的参与度，最终带来了兴趣和成绩的双丰收。

如在计算机上用《几何画板》任意画一个三角形，量出它的三个内角并计算这三个内角的和，然后通过拖动三角形的任意一个顶点来改变三角形的形状，再量出变化后的三个内角并计算内角和.从而推理出“三角形内角和等于180度”这一结论。

通过计算机辅助教学（本例使用几何画板），让学生在做中学，在交互中通过合情推理得到的知识不仅给予他们更高的准确度，而且遗忘率也较低，充分体现计算机辅助教学的高效课堂教学与传统推理的优异结合。

2.4在合作探究中的使用

古语云：“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书。”在与时俱进的新课程初中数学教学中，这句古语显得有些落伍.在强调建构主义的今天，学生很多知识需要通过其主动建构而完成，没有团队合作探究，那么问题的解决显得费时，因此新课程强调探究合作学习模式的重要性和必要性。

以平面几何为例，它在培养学生的想象能力、逻辑推理能力上有着很重要的作用.对平面几何某些知识点的教学需要有一定的教法。笔者多采用合情推理的教学模式，是这类知识成功教学的重要保证.教师要注重对学生进行合作指导，通过合作化、活动化来培养学生听、想、说的能力，提高学生合情推理的能力和合作学习的态度；另一方面，通过这样合作探究，教育学生要学会站在全面的的角度辨析、考虑问题（可以多次使用推理甚至反例推理）。

如在《全等三角形的条件》的课堂教学合作化、活动化讨论模式中，让学生探索三角形全等的条件，按照学生的不同水平进行分组、探究，20分钟的活动时间，使最终各组发表他们的一些推理结果。

（1）A组总结了SSS的全等条件（正确）；

（2）B组总结了SAS的全等条件（正确）；

（3）C组总结了AAS的全等条件（正确）；

（4）D组总结了SSA的全等条件（错误）；

本次课的教学较为成功，合作探究提供了学生宽广的平台，活动化指导了学生不必拘泥于传统的课堂，这样条件下利用的合情推理往往结合了多人的智慧，有益于正确结论的快速形成，提高课堂教学的效率，而且人人参与这正是新课程实施的理念！但有些方面也需要注意：笔者观察有的同学没有认真去推理、分析问题，导致后来在答题时，回答的不够全面.另外，在这类几何问题合作化、活动化课堂教学中，合情推理使用也需要一个度，切勿让课堂陷入只有形式的伪探讨中。

3.合情推理的思考

（1）合情推理的經验性：由合情推理的概念，我们可以知道合情推理来自于个体的已知知识范畴，那么个体的经验就显得极为重要， 个体经验较多则合情推理的准确度越高，反之则较低；

（2）合情推理的自由性：合情推理是由已知推导未知的知识，因此对每个学生而言，他们的推理结果均具备不等同性，在自由度上较为开放，比较适合学生发散性思维的培养和对个性化教育的展开；

（3）合情推理的创新性：正因为有着自由性，因此学生对推理的结果也会百花齐放，在推理上会出现各种各样创新式的结论，这也和新课程努力培养学生的创新思维的理念密切相关；

（4）合情推理的不确定性：合情推理既可以是从个别到普通的推理，也可以是从特殊到一般的推理.有时还可以是从一个普通到另一个普通的推理.所以，合情推理所产生的结果的正确与否，并不完全取决于问题的前提条件.再加上合情推理离不开学生对知识的联想与猜想，这就说明了合情推理的条件与结论之间并无必然性的因果关系.有时即使条件是正确的，也会由于学生的原有认知结构的差异，有时还可能出现不正确的结论，因而通过合情推理而得到的结论还有待于理论和实践的检验、证明。

总之，数学是培养人推理能力的最佳途径，作为教师应要根据学科特点和学生实际，积极鼓励学生进行推理能力的训练，主动发展他们的数学综合素质，把合情推理能力的培养落实到数学课堂教学的各个具体环节中，从而达到学生整体素质的全面提高，为学生的终生发展打下良好的基础。

【参考文献】

[1]全日制义务教育教学课程标准解决[M].北京师范大学出版社，2002

[2]G·波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌[M].上海科技教育出版社，2002

[3]G·波利亚.数学与猜想[M].科学出版社，2001