数学解题教学应落实问题的本质

☉湖北省黄石市第六中学 李 娟

数学解题教学应落实问题的本质

☉湖北省黄石市第六中学 李 娟

解题是高中数学学习中的一项重要内容，高考也通过解题来考查学生的综合能力及核心素养，进而选拔优质生源.解题教学是我们每位数学教师都面临的一项重要课题.解题教学是否到位，会直接影响到学生知识与经验的积累、思维能力的提升、解题能力的培养等等.那么应如何进行课堂解题教学？怎么才能实现解题教学效果最大化？笔者认为，抓住问题本质的教学是最有效的解题教学方式.下面以引例及其变式予以说明.

引例如图1所示，在棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P，Q分别是侧面BCC1B1和底面ABC内的动点，且A1P平行于平面BCM，PQ垂直于平面BCM，则点Q的轨迹长度为_________.

图1

此类动态立体几何问题活跃在近年各省市的高考试题中，“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何问题赋予了新的活力，题意更加新颖，也使得问题的形式更加灵活，有效地考查了学生的空间想象能力.那么此类动态问题的命题视角在哪里？在问题的解答中我们应采取什么样的策略？

“动中寻定”是处理动态几何问题的重要策略，这也是命题人的初衷.点P为平面BCC1B1内的动点，且A1P平行于平面BCM，所以A1P在与平面BCM平行的平面内，因此构造平面A1EF与平面BCM平行（如图2所示）.由题意易知，E，F分别为棱BB1与CC1的中点.从而先确定点P在线段EF上.

接下来的问题是如何确定点Q的轨迹.先寻找特殊位置，取BC的中点N，连接MN，当PQ与MN相交时，设交点为T，此时点Q落在AN上，只要确定点Q在AN上的位置，即可确定点Q的轨迹.

从几何体中移出四边形A1ANP，如图3所示.

一、思路、方法要符合命题者的意图

图2

图3

在△ABC中，过点Q作BC的平行线RS，分别交AB，AC于点R，S，即RS即为点Q的轨迹.由△ARS∽△ABC，得RS=

评析：寻找动点的特殊位置、空间问题平行化，进而利用平面几何知识求解，是处理本题的重要策略.

二、问题探究的过程中要形成解题经验

正确的解题方法与思路能够让学生形成解题经验，进而提升学生的解题能力、培养数学核心素养.

变式1如图4所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E和F分别是棱BC与CC1的中点，点P是侧面BCC1B1内的一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）.

图4

解析：如图5所示，取B1C1的中点M，取BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，由正方体的性质可得MN∥EF，A1M∥AE，所以平面A1MN∥平面AEF，即点P位于线段MN上.

图5

在△A1MN中，有

所以当点P位于M，N时，A1P最大.

故正确选项为B.

评析：点P是侧面BCC1B1内的一动点点，但A1P∥平面AEF，所以A1P在与平面AEF平行的平面内，因此准确构造出平面A1MN是问题顺利求解的关键.

变式2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P1，P2分别为线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2∥平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）.

解析：如图6所示，过点P2作P2O⊥底面于O，所以OP2∥DD1，且点O在线段BD上，连接OP1.

因为P1P2∥平面A1ADD1，所以平面P1P2O∥平面A1ADD1，

所以OP1∥平面A1ADD1，OP1∥AD.

又因为P1P2⊂平面ABD1，所以P1P2∥AD1，

所以P1P2⊥AB.

在Rt△ABD1中（如图7所示），易知AB=1，AD1=，BD1=，所以tanB=.设BP1=x，则P1P2=x，AP1= 1-x，所以S=·x（1-x）.

△AP1P2

图6

图7

故正确选项为A.

评析：因为动线P1P2平行于平面A1ADD1，则P1P2在与平面A1ADD1平行的一面内，因此找到这个平面，使问题顺利求解.

通过上述深入本质的解题教学，学生很自然地将所学到的解题方法迁移到同种类型的问题中，从这个角度来讲，深入本质的解题教学至关重要.

三、解题后的反思要形成解答一类问题的通法

正确的解题方法，不仅能够解决该题，还能够将其迁移，解决同类型的试题，进而形成解决一类问题的一种通法.

（1）寻找不变量——以不变应万变.若动线与已知面平行，则动线在与已知平面平行的定面内.另外若定线与动线垂直，则动线在与定线垂直的定面内，找到这些定面即可使问题顺利求解.

（2）寻找直线段——化曲为直求最值.在处理与折线段有关的最值问题时，“化曲为直”是行之有效的策略.

（3）寻找特殊位置——化一般为特殊.几何体中的某种关系，若在一般情况下成立，则特殊情况中一定成立，因此可从特殊情况入手寻找问题的求解思路.

（4）寻找平面图形——空间问题平面化.空间几何体都是由平面图形构成的，在处理某些问题时，熟悉平面几何的相关性质，方可准确找到问题的切入点.

只要抓住上述几个要点，即可找迅速找到解答动态立体几何问题的求解思路.

满足了上述几点，对试题的讲解才能揭示问题的本质，使学生形成系统的方法，进而有效提升其分析问题与解决问题的能力，实现会一题而通一类.否则，只能是就题论题，停留在试题的表面，无法实现学生解题能力的有效提升.