基于不同版本“导数概念”的比较研究——以人教版和苏教版的教科书为例

☉浙江省桐乡市凤鸣高级中学 沈金兴

基于不同版本“导数概念”的比较研究
——以人教版和苏教版的教科书为例

☉浙江省桐乡市凤鸣高级中学 沈金兴

一、问题提出

自十多年前的课程改革开始，我国各省采用的高中数学教科书不再统一，于是除了人民教育出版社出版的教材（简称人教版）外，还同时出现了江苏教育出版社出版的教材（简称苏教版）及其他简称湘教版、沪教版等各类教材.这些教材都是在教育部制定的《普通高中数学课程标准》（简称课标）的要求下编写的.虽然标准统一，但在具体内容的编写过程中还是会采用不同的方式，因为编写者对课标的理解和编写理念还是有所区别的，这就导致了某些知识点甚至是概念的表述会处理得不同.为了能在教学中更好地设计某个知识的传授，可通过比较不同版本教科书中的处理方式，然后再取长补短，作出最佳的选择.笔者此次选取了人教A版（下称人教版）与苏教版这两个版本的教材，就《选修2-2》中的1.1节“导数概念”的编写作了一个比较，以观察这两个版本对“导数概念”是通过怎样的例子来引入的？又是用何种方式来表征的？对一线教师的授课能带来什么启示？

二、课标的要求

课标首先对这一章作了大致的说明：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念……通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.”［1］

而对具体内容“导数概念及其几何意义”的要求则更详细：“①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.②通过函数图像直观地理解导数的几何意义.”［1］

两个版本都是严格按照课标的要求来编写，但在实际处理时，对实例的选择和内容先后顺序的安排还是会不一样的.下面以这两个版本的教科书呈现的文本为基础，从宏观和微观两个层面建立框架来分析，以便清晰地考察两个版本在同一内容上的异同点.

三、分析讨论与比较

1.导数的起源简述

为了有利于理解这两本教材在对导数概念的引入和表征上的差异，有必要先对导数的起源有一个大概的了解.众所周知，17世纪诞生了微积分，但导数的起源可追溯到更早的古希腊时期.它主要源于三个很古老的问题：光学问题中对于一般曲线的入射光是怎样反射的？如何确定曲线运动的速度方向？如何来求两条相交的曲线所构成的夹角？但要解决这三个不同问题，归根结蒂却都需要先解决同一个问题：那便是曲线的切线问题.［2］

正是由于这三个古老问题都迫切要求解决切线问题，故该问题成了17世纪上叶最核心也是最重要的问题之一.而此问题的解决就标志着导数的诞生.由此可见，切线问题与导数有着密不可分的关系，要讲授导数概念，一定绕不开曲线的切线问题.

2.导数概念在两个版本中的编写比较

（1）宏观层面：导数概念的呈现结构内容比较.

先从宏观层面来考察人教版与苏教版在导数概念引出方面的情况.人教版安排了3小节，苏教版安排了2小节，具体呈现的结构内容见表1.

表1 宏观层面：呈现导数概念的结构顺序

从宏观角度来观察两个版本，显然在导数概念呈现的结构框架方面都遵循了课标的要求：通过大量实例来引入平均变化率，再到瞬时变化率，最后得出导数概念.所以其编写的整体思路大致一样：都是从特殊例子再到一般化，且在导函数概念的表征上也类似：先给出函数f（x）在某一点处可导，再“点点可导”得到导函数，也都没有从极限的“ε-δ”语言定义和严格的连续性定义来描述，而是从实例与切线斜率出发，由形到数让学生直观形象地感受“以直代曲”的微积分思想后就立即得出概念，而这也符合中学生的认知水平.

当然，所不同的就是导数的几何意义安排的顺序有区别.人教版是先给出f（x）在x=x0处的导数概念，然后再说明它的几何意义就是x=x0处的切线斜率；苏教版是先理解曲线上某一点处切线概念，然后从切线斜率、瞬时速度等归纳出f（x）在x=x0处的概念.就这个编排顺序的不同反映了编写者们对导数概念的不同传授角度.人教版的编者是严格按课标要求的顺序来写的：先知道在x=x0处的导数概念，再进一步从函数图像去直观理解该概念的意义，从而加深学生对概念的认识.但苏教版的编者却对调了课标中安排的顺序，打了一个“时间差”，这说明了苏教版编者的不同视角，他们以历史发生原理为依据［2］，认为讲授导数就应该遵循历史上发现导数的时间顺序，即数学家们是先弄清楚了曲线的切线问题后才得到导数的.这就体现了两版本的编写者对数学知识传授的不同理念.

（2）微观层面：导数概念的引入与表征比较.

①导数概念的引入比较.

从微观层面观察，人教版与苏教版在导数概念引出之前的具体细节处理上还是有些不同.虽然都遵循课标的要求：从日常生活中的例子来引入，以突出导数概念的实际背景，但对实例的选择是各不相同的.人教版选择了气球的膨胀率和运动员高台跳水来引出平均变化率，然后一直围绕着这两个例子来说明瞬时变化率；而苏教版则选择了日常生活中“天气热得太快了”这个实例来说明气温“陡增”的数学意义，继而又例举了婴儿周岁的体重变化与虹吸管容器中水的变化量来说明，然后又用了数学中的二次函数、一次函数来计算平均变化率.

第一节的实例是为了得出x=x0处的概念而作铺垫的.人教版只用了生活中的实例，没有数学本身的例子，给人的印象是导数就是为了解决生活中的实例而诞生的，并没有数学本身的内在需求，有点“去数学化”的嫌疑，这样会使学生产生误解，因为历史事实并非如此.相比较苏教版则要处理得全面些.既有生活中的例子，也有数学本身的例子，两者兼顾，让学生明白导数既是解决实际生活中的需要也是数学本身发展的需求而诞生并完善起来的，这样也更符合课标中“通过大量实例”的要求.

②导数概念的表征比较.

人教版对导数概念的得出分了三步.第一步是由瞬时变化率得出y=f（x）在x=x0处的导数：f′（x0）第二步借助信息技术演示图1中PPn的动态变化，让学生理解在x=x0处的导数就是曲线在点P处的切线PT的斜率k，第三步才给出描述性的导数概念：当x=x0时，f′（x0）是一个确定的数.这样，当x变化时，f′（x）便是x的一个函数，称它为f（x）的导函数（简称导数），记作y′，即f′（x）=y′=

图1

苏教版在得出导数概念时也分了三步.第一步是详细讲述曲线上一点处的切线.先把点P附近的曲线可视为直线，如图2，引出“以直代曲”的思想；然后探究过曲线上一点P的割线如何通过逼近最后得到切线，教材上安排了一个动画链接，如图3；最后给出切线斜率的描述性定义：当无限趋近于0时，无限趋近于点P（x，（fx））处的切线斜率.第二步又通过瞬时速度、瞬时加速度给出了函数在某一点处的导数：设函数y=（fx）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），若Δx无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称（fx）在x=x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0），随后指出f′（x）0的几何意义就是曲线y=（fx）在点P（x0，（fx）0）处的切线斜率.第三步才给出导数概念：若（fx）对于区间（a，b）内任一点都可导，则（fx）在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为（fx）的导函数，记作f（′x）.［4］

图2

图3

从微观角度看，除了都通过信息技术来几何直观地说明“以直代曲”的极限思想外，两版本对导数概念的表征处理得明显不同.首先人教版已采用了高等数学里的导数表示形式，用高度抽象的符号“”来表述，尽管没有严格解释“”的数学意义，但已解释了“趋近于0的极限”这个含义；而苏教版一直没有出现“”这个数学符号，并一直用文字表达“无限趋近于0”.其次人教版是通过“映射说”的角度来定义f（′x）是一个函数；而苏教版是从“变量说”角度来定义f（′x）是一个函数.最后在导数概念得出前的条件也不一样，人教版处理得比较模糊，只是用“从求函数（fx）在x=x0处导数的过程可以看到，…”；而苏教版则借鉴了高等数学中的表示：“若（fx）对于区间（a，b）内任一点都可导.”

笔者作为一线教师，认为这两个版本对导数概念的表征各有优缺点.人教版采用极限的符号“”还是可取的，因为作为高中生，适当介绍一下高度抽象的符号还是有必要的，再说既然两版本都没有用“ε-δ”语言来严格说明极限的数学意义，那又有何必总用通俗化的语言“无限趋近于0”去描述呢？还不如直截了当用数学符号来表示.但在导数给出前的条件还是苏教版处理得清晰，通过“区间（a，b）内任一点都可导”来得出.至于是用“映射说”还是“变量说”去解释导函数，关系并不大，因为学生都已学过，都能理解.

四、结论与建议

1.结论

（1）两版本在宏观层面的呈现结构上具有相似性.

从宏观视角看，两版本都按课标的要求来执行，呈现的结构路径相似：在概念引入前安排大量实例，并由平均变化率再到瞬时变化率.编排理念都是从特殊到一般，符合学生的认知规律.函数f（x）在某点处导数也都与切线的斜率相联系，并都借用信息技术通过几何直观来刻画“以直代曲”的导数思想及几何意义.

（2）两版本在微观层面的细节处理上具有差异性.

人教版在实例的选择上是更倾向于实际生活，而苏教版除生活实例外还兼顾数学本身的例子；人教版是先有f（x）在x=x0处导数概念后再理解其切线斜率的几何意义，而苏教版则直接先引出切线斜率作为数学实例之一，再归纳出f（x）在某一点的导数概念，这样处理更符合数学史上导数的历史发生顺序；而两版本在导数概念表征的处理上也具有差异性.

2.教学建议

经过上述的分析讨论得出的相关结论，就可以得到一些教学启示.作为一线教师，在备课时就能各取所长，把两版本的优点集中起来，从而设计出更符合学生认知规律的教案.

（1）导数概念的引入可兼顾生活化与数学化.

由于人教版的导数概念引入更多地侧重于生活化例子，缺少数学内在发展需要的例子，因而可借鉴苏教版的处理方式，既有贴近学生日常生活的例子，也可加入纯数学中的例子，使两者相得益彰.

（2）导数概念的表征可兼顾通俗化与符号化.

对导数概念的表征形式可综合两版本的表述，即先用苏教版易理解的通俗化语言：“函数y=（fx）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），”接下来把“无限趋近于0”改变成人教版采用的符号“来表示，这样取长补短后，既有通俗化的数学语言又有高度抽象的符号化语言，体现了数学的简洁美与形式美.

（3）曲线的切线问题在导数概念前后引入皆可.

不管苏教版把切线安排在导数概念前，作为引入的例子来介绍，还是人教版作为导数的几何意义来说明，都有道理，可以说“仁者见仁，智者见智”，所以如何处理可由教师决定.不过笔者认为，从HPM视角看，基于历史顺序的编排可能更符合学生的认知特点［2］，即像苏教版那样，把解决曲线的切线问题作为导数概念的引入.

总之，研究同一个知识点在不同版本教科书中的处理方式，目的就是要比较出各自的优缺点，然后扬长避短，吸取各自之精华，博采众长，从而使该知识点的教学设计更合理、更科学，也更适合学生的学习.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2006.

2.汪晓勤.数学文化透视［M］.上海：科学技术出版社，2013，1.

3.中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书：数学（选修2-2）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.普通高中课程标准实验教科书：数学（选修2-2）［M］.南京：江苏教育出版社，2005.