问题导学，探究生成，自然构建*——两角和与差的正余弦公式教学设计

☉陕西省三原县北城中学 廉万朝

☉陕西省泾干中学 吴清军

问题导学，探究生成，自然构建*
——两角和与差的正余弦公式教学设计

☉陕西省三原县北城中学 廉万朝

☉陕西省泾干中学 吴清军

一、教材分析

本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修4）》（北师大版），第三章《三角恒等变换》的第二节“两角和与差的正、余弦公式”（第一课时）.本节课是在学生学习了任意角三角函数、平面向量及解析几何初步等知识后来进行的，主要是学习两角和与差余弦公式的推导及公式的简单应用.本节课的设计基于以下考虑：一是两角和与差的三角函数公式是诱导公式的进一步扩充，即将cos（π-β）中的角π扩充为任意角α，因此可利用诱导公式的推导思路，表示出相应的角，角的终边与单位圆交点的坐标，寻求角的终边之间的关系，发现诱导公式.类比这种发现思路，探索两角和与差的三角函数公式.二是两角和与差的正、余弦公式也是学生学习二倍角公式、半角公式、辅助角公式的前提与依据，因此两角和与差的三角函数公式是三角变换中“公式”之本，起着承上启下的作用，既是之前所学公式的推广，又是之后要学公式的延伸，所以两角和与差的三角函数公式的推导直接影响着本章内容的学习，显得至关重要.三是从学生的认知与思维构建的角度来看，符合“类比归纳”、“由特殊到一般”的认知规律.教材之所以将本节课放在平面向量和解析几何初步之后学习，一方面在两角差的余弦公式推导时，入口更宽广，方法更灵活，如平面向量的数量积、两向量相等、平面内两点间距离等；另一方面让学生进一步体会知识之间的联系，并体现更多的数学思想方法，如数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，类比推理的方法等.

二、学情分析

本节课是在高一第二学期进行的，之前学生学习了任意角三角函数、诱导公式、解析几何初步及平面向量，但由于教材设置的模块化，学生往往忽略了知识之间的联系.在平时的教学中，经常有教师反映学生的知识迁移能力差，前学后忘的情况.其原因就是学生没有充分经历知识的发生、发展过程，没有认识到知识之间的联系，因此本节课对两角差的余弦公式推导的教学设计，就是让学生充分认识知识之间、方法之间的联系，以及数学思想方法的渗透.

三、教学目标

结合本节课在教材中的地位及学生的学情，可将本节课的教学目标定位如下：

1.通过角的表示、角的终边与单位圆交点的坐标与三角函数定义之间的关系、角的终边上点的坐标与向量的关系、图形几何性质与相应的坐标之间的关系等，让学生能说出它们之间的关系，并用数学语言加以表示.

2.依据角的表示、图形中的几何性质、向量关系，能推导出两角差的余弦公式.

3.通过类比、迁移等思想方法，建立图形语言与数学语言的关系，体会数形结合的思想方法、分类讨论的思想.

依据本节课的教学目标可将本节课的重点和难点定为：

重点：图形语言与数学语言之间的转化，两角差的余弦公式的推导.

难点：用向量推导两角和与差公式.

四、教学设计

（一）提出一个既熟悉又具有启发性的问题，激发学生探索的欲望

前面学习了任意角的表示及三角函数的定义，根据角的表示，认识到α，-α，π±α，2π-α等角的终边之间的关系，再结合三角函数的定义得到相应的诱导公式.

问题1：类比上述思路，我们能否建立角α，β与α-β，α+β之间的关系，进而得到相应的公式呢？

设计意图：设计一个学生既熟悉，又具启发性的问题，运用类比的方法，按照诱导公式的推导思路去寻找它们之间的联系.问题设计很开放，思路很开阔，既体现知识之间的联系，又能激发学生的思维，也是目标1的体现.

师：请同学们在同一直角坐标系中，作出角α，β，αβ，且α，β∈（0，π），α＞β，并标出它们与单位圆交点的坐标.

生1：如图1，角α，β，α-β的始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆的交点分别为P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos（α-β），sin（α-β））.

图1

图2

生2：如图2，角α，β的始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆的交点分别为P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2=α-β.

师：诱导公式中，通过作出相应的角，发现角的终边有对称关系，从而得到诱导公式，那么，上述图形中，你能发现怎样的关系？

设计意图：通过作出相应的图形，从图形中发现其中的关系，问题具有发散性，又有探索性，也是目标1、2的具体体现.

生1：∠P1OP2=∠P3OP0=α-β.

生2：只有∠P1OP2=α-β，没发现什么等量关系.

（二）依据图形特点，建立等量关系

上述两个图形中，都体现了角α，β以及α-β，这是我们发现其中存在等量关系的基础，类似于生1的思路，若能寻找出它们之间的等量关系，就可将图形语言转化为数学语言，从而实现这些角之间的联系.

问题2：结合我们学习过的解析几何中的相关知识以及平面向量的知识，如何将图1中的∠P1OP2=∠P3OP0用相应的坐标表示？图2中真的找不到等量关系吗？

设计意图：在“解析几何中的相关知识以及平面向量的知识”的提示下，如何用角的终边与单位圆交点的坐标刻画∠P1OP2=∠P3OP0，就是问题的突破口.目的是让学生尽可能想到更多的方法，同时挖掘图2中的等量关系，也是目标1、2、3的体现.

生1：因为∠P1OP2=∠P3OP0，所以|P1P2|=|P3P0|.

整理得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

生3：因为∠P1OP2=∠P3OP0，

所以cos∠P1OP2=cos∠P3OP0.

即1×cos（α-β）+0×sin（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

师：这两个思路都很好，只要能建立其中的等量关系，并坐标化，都可得到角α-β的三角函数值与角α、β的三角函数值之间的关系.图2中真的不能建立等量关系吗？

即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

师：图2中除了利用向量建立关系外，能否类似于生1的方法，通过距离建立关系？

生4：若以O为坐标原点，OP2为x轴建立新的坐标系x′Oy′，在新坐标系中，P2（1，0），P1（cos（α-β），sin（α-β）），无论是在原坐标系还是在新坐标系中，|P1P2|保持不变，

即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

师：在这两个图形中，是否还有其他的解决途径？请同学们课后继续探索.

设计意图：还可以通过平面向量基本定理建立其中的联系.

（三）角的推广，两角和与差的正、余弦公式的形成

问题3：上面两个图形所画的角都在（0，π）内，而且α＞β，那么对于任意的角α，β，上述公式是否成立？

设计意图：对所涉及的角进行推广，使公式的得出具备一般性.（目标3的体现）

生5：当α＜β时，因为cos（α-β）=cos（β-α），所以，当α，β都在［0，π］范围内时，公式也成立.

师：结合三角函数诱导公式，当角α，β在（π，2π］时又怎么办？

设计意图：问题很具体，就是通过诱导公式对所得公式中的角进行推广，也是目标2的体现.

生6：当α∈（π，2π］，β∈（0，π］时，2π-α∈（0，π］，由诱导公式可得cos（α-β）=cos［2π-（α-β）］=cos［（2π-α）-（-β）］=cos（2π-α）cos（-β）+sin（2π-α）sin（-β）= cosαcosβ+sinαsinβ，即公式也成立.

同样地，β∈（π，2π］，α∈（0，π］时也成立.

生7：当α∈（π，2π］，β∈（π，2π］时，2π-α∈（0，π］，2π-β∈（0，π］，于是cos（α-β）=cos（β-α）=cos［（2π-α）-（2π-β）］，再结合诱导公式可得

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

师：我们还得验证当α，β大于2π时，公式是否成立？

生8：由于cos（2kπ+α）=cosα，sin（2kπ+α）=sinα，k∈Z，所以对于α，β大于2π时，公式也成立.

师：综上所述，对于任意的α，β，都有cos（α-β）= cosαcosβ+sinαsinβ成立，这就是两角差的余弦公式.

（四）搭建平台，建立联系

问题4：有了两角差的余弦公式，能否由此出发得到两角和的余弦、两角和与差的正弦等公式？

设计意图：有了上面对两角差的余弦公式的推导，以及通过诱导公式对其进行一般化推广，得到其他公式已经不存在问题，让学生进行推导，一方面进一步熟悉公式之间的联系，另一方面也是记忆公式的一个好方法.

学生通过自主推导，或者小组合作，得到两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式.

问题5：利用两角和与差的正、余弦公式来验证诱导公式.

如sin（π+α）=-sinα，cos（π-α）=-cosα等.

由此可见，两角和与差的正、余弦公式以及诱导公式之间都存在着必然的联系，诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特例，两角和与差的三角函数公式都可以由两角差的余弦公式变化而得.

（五）练习巩固，熟悉公式

问题6：两角和与差的三角函数公式都可以解决哪些问题？

设计意图：通过公式的应用，进一步认识公式的特点，明确公式所能解决的问题.先让学生说出所能解决的问题，这样在解决问题时，应用公式就得心应手.

设计意图：第①题是让学生能直接应用公式解决问题，第②题是公式的逆向应用，第③题是考虑如何选择公式，是对公式的进一步应用.

（六）归纳小结，形成体系

问题7：通过本节课的学习，你是怎样发现两角差的余弦公式的？学会了什么思想方法？

设计意图：通过小结回顾，要得到两角差的余弦公式，就必须先表示出相应的角，寻找这些“量”之间的关系，才能发现关系，得出公式，目的是让学生进一步熟知公式发现的过程和所采用的思想方法.

问题8：通过两角和与差的三角函数公式能解决哪些问题？

设计意图：对于公式、定理的学习，其目的就是为了解决问题，只有让学生熟知所能解决的问题，应用公式才能更直接，更快捷.

五、教学反思

本节课针对教材内容设计问题，让学生经历“观察—发现问题—分析问题—解决问题”的过程.通过学生熟知的诱导公式的发现思路，采用类比的方法，“我们能否建立角α，β，α-β之间的关系，进而得到相应的公式？”学生表述出角α，β，α-β以及角的终边与单位圆交点的坐标，就为发现它们之间的联系奠定了基础，这是发现问题的关键，只有发现问题，才能在此基础上，结合已有知识去探索问题，寻求解决问题的方法，如生1～4的方法，而且这些方法的得出既自然，又易于掌握.更重要的是教给学生一种探索问题的方法，表示出相应的“量”，寻找“量”之间的关系，并进行数学化，即可得到公式.如圆锥曲线的标准方程的得出，正弦、余弦定理的得出都是这种思路的体现.同时，在对公式中的角进行推广的过程中，通过设计相应的问题串，结合学生的知识基础，一步步使公式得以完善.整个过程看似学生在探索，其实是问题引导下的结果，有问题才有发现，有思考才有创新，正是这种以问题引导的思维课堂，才使公式的得出自然和谐，学生应用公式解决问题也才会得心应手.但本节中教师干预依然太多，学生的主体地位体现还不够，课堂中问题设计还不够紧密，要不断在课堂中寻找学生在自主学习过程中所存在的问题，不断优化问题，只有这样才能更好的发挥学生的主动性，让课堂的效率更高.

1.廉万朝.高中概念教学中“问题导学”的案例研究［J］.中学数学（上），2016（3）.

2.廉万朝，崔莉.“问题导学”让课堂更生动［J］.高中数学教与学，2016（9）.

*本文系咸阳市名师科研课题“高中数学教学中“问题导学”的实践研究”（课题编号：XYXMKT16004）的研究成果之一.