三角形内心有关难题的简证

苏昌盛

【摘要】本文先证两个定理，再利用定理证明两道有关三角形内心的难题.

【关键词】三角形内角平分线；三角形内心；不等式

在竞赛辅导中，笔者发现与三角形内心I有关的一类不等式经常出现，在数学杂志的征解题中经常出现与三角形内心I有关的难题，证法颇具难度.本文提出两个定理，利用定理巧解此类难题.

同理可证其余结论.

问题1已知△ABC，设I是它的内心，∠A，∠B，∠C的平分线分别交其对边于点A′，B′，C′，求证：14

证明本题证法甚多，朱华伟老师给出四种巧妙证法（详见文[1]），本文利用定理1予以简洁新证.根据定理2，原不等式等价于

14

左不等式14<∏（b+c）（∑a）3（∑a）3<4∏（b+c）P+6Q+3R<4（2Q+R）P<2Q+R.

根據定理1（2）：P+2Q

右不等式

∏（b+c）（∑a）3≤82727∏（b+c）≤8（∑a）3

27（2Q+R）≤8（P+6R+3R）

3R+6Q≤8P.

根据定理1（1）：R≤2P，3Q≤P，

立知3R+6Q≤3·2P+2P=8P.

综上，问题1获证.

问题2△ABC的内心为I，内角平分线AD，BE，CF与边相交于D，E，F，求证：32≤IDIA+IEIB+IEIC<2.（《数学通报》数学问题第849号）

证明续铁权老师利用凸函数的一个控制不等式给了一个巧证（详见文[2]），现利用定理2、定理1证明.

原不等式等价于

根据定理1（2），R>P+2Q，故P

综上所述，问题2获证.

问题3在△ABC中，三条内角平分线AA′，BB′，CC′交于点I，求证：54

证明刘允松老师给了一个简洁证明（详见文[3]）.

根据定理1、2，知该不等式等价于

根据定理1（1），R≤2P，又5R≤5（P+3Q），叠加而得到6R≤7P+15Q.

综上所证，问题4获证.

【参考文献】

[1]朱华伟.奥林匹克数学的基本特征（三）——问题的研究性[J].中学数学，1995（5）：39-42.

[2]续铁权.关于凸函数的一个控制不等式[J].数学通报，1995（7）：42-46.

[3]刘久松.巧证一组三角形趣题[J].中学数学，1995（8）：39-40.