例谈高考对零点问题的考查

☉河南省开封高中 孔欣怡

例谈高考对零点问题的考查

☉河南省开封高中 孔欣怡

函数和方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，近几年高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，它主要涉及到基本初等函数的图像，渗透着转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.本文就函数零点在高中数学中的常见题型及求解方法进行剖析，希望对大家有所帮助.

一、函数零点“存在性”问题的考查

函数的零点问题是近年来各级考试中的热点题型之一，无论小题、大题均有所涉及，主要题型包括：原函数的零点存在形式转化、零点个数判断、零点存在性证明及导函数零点存在唯一性虚设等，下面结合具体实例进行解析.

1.函数零点存在的形式转化

在函数与方程之间存在三种等价转化关系：函数F（x）=f（x）-g（x）的零点⇔方程f（x）-g（x）=0的根⇔函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标，合理运用这些等价关系，可以将零点问题转化为方程的根或两个函数图像的交点问题.

（1）若函数f（x）无零点，求实数m的取值范围；

（2）若函数f（x）在（-2，2）有且仅有一个零点，求实数m的取值范围.

（2）函数f（x）在（-2，2）有且仅有一个零点⇔设g（x）=-x2+x+m-2有一个零点，结合二次函数图像可知，或有一个根为2（或-2），令一个根在（-2，2）之间，解得

2.函数零点存在的个数判断

此类问题常见的有：函数无零点，存在唯一零点，存在两个零点，存在三个零点等，解这类问题的方法：（1）依据原函数的单调性及函数极值是否大于零，来判断零点的个数；（2）转化为两个函数图像的交点问题.

例2已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为（）.

A.（2，+∞）B.（-∞，-2）

C.（1，+∞）D.（-∞，-1）

解法一：当a=0时，f（x）=-3x2+1=0有两个零点，不合题意；f′（x）=3ax2-6x=0，得x=0或x=，当a＞0时，f（x）在（-∞，0）单调递增单调递增，这时要使函数f（x）存在唯一零点x0，必有x0＜0，不合题意；当a＜0时，f（x）在（-∞，0）单调递减单调递增单调递减，要使唯一x0＞0必有解得a＜-2.

解法二：f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点，（显然x=0不是零点）即ax3-3x2+1=0，令=g（x），g′（x）==0，x=±1，所以g（x）在（-∞，-1）单调递减，在（-1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又g（-1）= -2，g（1）=2，要使直线y=a与y=g（x）有横坐标大于零的交点，必有a＜-2.

3.函数零点的存在的确定性证明

函数y=f（x）是定义在［a，b］上的连续函数，满足f（a）· f（b）＜0，则函数在区间（a，b）内存在零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.如果函数y=f（x）是单调函数，那么在此区间有唯一零点.根据此定理要证明函数在区间（a，b）内有零点，只需证明f（a）与f（b）的符号相反即可.

例3设函数fn（x）=x∈R*，n∈ N*）.

证明：（1）对每个n∈N*，存在唯一的xn，满足fn（xn）=0；

（2）对任意p∈N*，由（1）中xn构成的数列｛xn｝满足0＜

证明：（1）f′n（x）=1+＞0，所以fn（x）在上单调递增，又fn（1）＞0=0，所以fn（x）在上有且仅有唯一一个零点xn使得f（nx）n=0.

（2）略.

二、判断函数零点个数

函数的零点渗透了函数与方程、等价转化、数形结合等重要的数学思想方法.从近几年的高考来看，有关函数零点个数问题的高考试题层出不穷，对解决此类问题的能力考查力度也逐步加大，以下结合实例探讨判断函数零点个数的策略.

1.利用解方程判断函数零点个数

函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，因此可用解方程f（x）=0来确定函数y=f（x）的零点个数，但要注意函数定义域.

解析：当x≤0时，令x2+2x-3=0解得x=-3；当x＞0时，令-2+lnx=0解得x=e2.故函数有两个零点.

2.利用函数图像判断函数零点个数

直接利用函数图像与x轴的交点个数或者将函数变形，将函数零点变成两个函数图像的交点问题.函数F（x）=f（x）-g（x）的零点，即方程f（x）=g（x）的根，也就是函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标.当函数y=F（x）的图像不易画时，可将F（x）分解成两个相对简单的函数，即F（x）=f（x）-g（x），利用f（x）与g（x）图像交点的个数来判断F（x）的零点个数.

例5设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈［0，π］时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠（x）＞0，则函数y= f（x）-sinx在［-2π，2π］上的零点个数为______.

图1

3.分离参数转化为两个函数图像的交点个数

对于解决含参数的函数零点个数问题时，从正面合理地对参数的取值进行分类讨论是常用的策略，但有时学生会因为找不到分类的标准或讨论不够全面而失分.通过分离原函数对应方程f（x）=0中的变量和参数a后变形成g（x）=h（a），将原函数的零点个数问题化归为函数y=g（x）图像和直线y=h（a）的交点个数问题，可避免复杂的讨论.

例6设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调递增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解析：（1）略.

（2）证明：因为g（x）在（-1，+∞）上是单调递增函数，所以g′（x）=ex-a≥0，即a≤ex对x∈（-1，+∞）恒成立，而当x∈（-1，+∞）时，所以a≤.由f（x）=0得a=，所以函数f（x）的零点个数就是直线y=a与函数h（x）=图像交点的个数.

当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e）上单调递增；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（e，+∞）上单调递减.故h（x）的最大值为h（e）=又当x∈（0，1）时，h（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0；当x→0时，h（x）→-∞；当x→+∞时，h（x）→0.故可作出的简图如图2.

图2

4.利用零点存在定理和函数单调性判断函数零点个数

用零点存在定理可判断函数零点是否存在，如果需要进一步判断图像连续不断的函数的零点是否唯一，可以借助函数的单调性，需将判定的区间划分为函数的单调区间逐一判定.一般地，图像连续不断的函数f（x）在区间（a，b）上单调，且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有唯一零点.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明.

（2）函数在内有且只有两个零点.证明如下：

当x∈（m，π）时，g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，从而f（x）在（m，π）上单调递减，

又f（m）＞0，f（π）＜0，且f（x）在［m，π］上的图象是连续不断的，故在（m，π）上只有一个零点.

综上，函数在内有且只有两个零点.

三、由函数零点个数求参数范围

已知函数零点求参数的范围是常考的一类题型，下面举例说明.

例8f（x）=x3-6x2+9x+a在x∈R上有三个零点，求a的取值范围.

解：由题意知，f′（x）=3x2-12x+9=3（x2-4x+3）=3（x-3）·（x-1）.

f′（x）＞0，即x＞3或x＜1；令f′（x）＜0，得1＜x＜3.

故f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，f（x）极大值=f（1）=4+a，f（x）极小值=f（3）=a.

要使f（x）=x3-6x2+9x+a在x∈R上有三个零点，则f（x）极大值=f（1）=4+a＞0，f（x）极小值=f（3）=a＜0.

故-4＜a＜0.

利用导数求出函数的单调区间和画出函数的图像数形结合可以有效解决与零点相关的问题.

四、求零点存在的大致区间

例9已知函数f（x）=logax+x-b（a＞0且a≠1），当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），则n=______.

解：方程logax+x-b=0（a＞0且a≠0）的根为x0，即函数y=logax（2＜a＜3）与函数y=-x+b（3＜b＜4）图像交点的横坐标为x0，且x0∈（n，n+1），n∈R结合图像，交点只能落在图3中的阴影部分（不含边界），故n=2.

图3

很明显，因为含有参数，本例不可能通过解方程来求解决，只能通过图像来求解.

函数的零点问题体现了数形结合、分类讨论、转化与化归三种数学思想，因此笔者觉得函数的零点问题在教学中是非常有必要深究的.近几年考查较多，其载体也是越来越多样，只要我们经常总结，反思总会有收获.