例谈构造辅助函数求条件最值

☉广东实验中学 贺 朗 伍毅东

例谈构造辅助函数求条件最值

☉广东实验中学 贺 朗 伍毅东

多元函数的条件最值问题在中学没有系统讲述，但却是高考和竞赛的一个重要题型.本文试图通过构造辅助函数，应用导数知识探求多元函数条件最值问题的解题思路.

例1 已知正数x，y满足x2+y2=8，求证：x+y≤4.

证明：令f（x，y）=x+y，φ（x，y）=8-x2-y2，本题为求函数f（x，y）在条件φ（x，y）=0下的最大值.为此，作辅助函数F（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y）=x+y+λ（8-x2-y2），这里λ是待定参数.固定y＞0，在F（x，y）中对变量x求导，记为F′x（x，y），类似理解记号F′y（x，y），则F′x（x，y）=1-2λx，F′y（x，y）=1-2λy.令F′x（x，y）=0，F′y（x，y）=0.

因此，对任意固定的y＞0，F（x，y）在x=2处取得最大值.

类似地，对任意固定的x＞0，F（x，y）在y=2处取得最大值.因此，函数F（x，y）在x=y=2处取得最大值4.那么，当x＞0，y＞0时，F（x，y）≤4.当x2+y2=8时，F（x，y）=f（x，y）=x+y≤4.

评注：求f（x，y）在条件φ（x，y）=0下的最值，构造辅助函数F（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y）.若求得F（x，y）的最值，则在条件φ（x，y）=0下也就求出了f（x，y）的最值；而参数λ的作用是使得方程组（1）中的三个等式都成立的x，y存在，从而找出F（x，y）的最值点.

例2 （1976年英国数学竞赛）设正数a1，a2，…，an之和s，n≥2，求证

对任意固定的a1，…，ai-1，ai+1，…，an，当时，，则F（a1，…，an）关于ai单调递减；当时，Fai′（a1，…，an）＞0，则F（a1，…，an）关于ai单调递增.

因此，对任意固定的a1，…，ai-1，ai+1，…，an，函数F（a1，…，an）在取得最小值，这里i=1，2，…，n.由此得函数在a1=…=处取得最小值

故当a1+…+an=s时

例3 （《数学通报》问题1625）设正数x，y，z满足4x+3y+5z=1，求的最小值.

解：由于4x+3y+5z=（x+y）+2（y+z）+3（z+x），可令a1=1-a1-2a2-3a3，这里a1＞0，a2＞0，a3＞0，问题转化为求函数f（a1，a2，a3）在条件φ（a1，a2，a3）=0下的最小值.

由上面的方程组易知，对任意固定的a2，a3，函数F（a1，a2，a3）在处取得最小值；对任意固定的a1，a3，函数F（a1，a2，a3）在处取得最小值；对任意固定的a1，a2，函数F（a1，a2，a3）在处取得最小值.由此得F（a1，a2，a3）在处取得最小值当a1+2a2+3a3=1时

由上面的方程组易知，对任意固定的y，z，函数F（x，y，z）在x=2处取得最小值；对任意固定的x，z，函数F（x，y，z）在y=2处取得最小值；对任意固定的x，y，函数F（x，y，z）在z=2处取得最小值.因此，F（x，y，z）在x=y=z=2处取得最小值当时

小结：求函数f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）在条件φ1（x1）+φ2（x2）+…+φn（xn）=0下的最值，可尝试构造辅助函数F（x1，x2，…，xn）=f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）+λ［φ1（x1）+φ2（x2）+…+φn（xn）］.固定x1，…，xi-1，xi+1，…，xn，利用对变量xi的导数F′xi（x1，x2，…，xn）=f′i（xi）+λφ′i（xi）（i=1，2，…，n）求出F（x1，x2，…，xn）的最值点，从而求出f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）在条件φ1（x1）+φ2（x2）+…+φn（xn）=0下的最值.