2017年全国新课标Ⅰ卷理科21题典型错误分析与教学建议*

☉广东省惠州市第一中学高中部 李晓波

☉广东省惠州市第一中学高中部 李海媚

2017年全国新课标Ⅰ卷理科21题典型错误分析与教学建议*

☉广东省惠州市第一中学高中部 李晓波

☉广东省惠州市第一中学高中部 李海媚

2017年的高考已落下帷幕，今年的全国新课标Ⅰ卷理科21题普遍反映试题较往年简单，但在阅卷中笔者发现考生问题频出，平均分很低（不到1分）.为了把学生的“错题资源”变为有效的“教学资源”，变“误”为“宝”，下面将呈现考生在解答本题时出现的一些典型错误，并剖析失误的原因，以及对今后教学的建议，与同仁分享.

一、试题及试题出处

题目 （2017年全国新课标Ⅰ卷理科21题）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）讨论f（x）的单调性

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

二、学生答题典型失误呈现

我们先来看本题第一问解答中考生出现的典型错误.我们往往有种惯性思维，认为第一问应该是所谓的“送分题”，事实上，第一问出现的错误最多，而且一旦第一问出错，将很大程度影响第二问的解答.

1.第一问求导错误

（1）f′（x）=ae2x+（a-2）ex-1；（2）f′（x）=2axe2x-1+（a-2）·ex-1；（3）f′（x）=2ae2x+（a-2）ex；（4）f′（x）=2aex+（a-2）ex-1；（5）f′（x）=2ae2x-（a-2）ex-1；（6）f′（x）=2aex+（a+2）ex-1.

剖析：第（1）种错误最多，主要是学生不知道要用复合函数的求导法则；第（2）种错误是把ae2x当成了幂函数来求导；第（3）（4）（5）（6）种错误主要是抄漏数字或抄错符号，都是学生的笔误.以上情况总的来说都属于计算能力不足的问题.

2.第一问不会因式分解或因式分解错误

f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=2at2+（a-2）t-1=（at+1）（2t-1）.

剖析：因式分解错误，主要是因为十字相乘的时候符号弄反.

3.第一问讨论单调性的分类错误或分类不全

（1）分a＜2，a=2，a＞2三类讨论；

（2）分a＜0，a＞0讨论，漏了a=0；

（3）f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（3a-2）ex-1分三类讨论.

剖析：第（1）种分类学生主要受到了（a-2）ex的影响；第（2）种分类主要漏了a=0，不全面，缺乏数学思维的严谨性；第（3）种错误是因为计算错误，学生以为可以把ex与e2x合并在一起，结果也导致了分类的错误.

4.第一问利用换元法令t=ex，没有注意t＞0，最后没有把g（t）还原为f（x）

学生有换元的意识，但容易忽略换元后必须先讨论新元t的取值范围，其实这也是一个严谨性的问题.

5.第二问中对函数存在零点的问题本质理解不到位

剖析：学生认为先减后增的函数，只需要保证极小值小于0，就可以保证函数有两个零点（类似于二次函数），对函数存在零点的问题本质理解不到位，同时也缺乏数学严谨性.

6.不会利用函数的思想处理不等式的问题

剖析：学生不会利用函数的思想处理不等式的问题，事实上，只要重新构造一个新函数，对新函数求导分析函数的单调性即可求出参数的范围.

7.对于较为复杂的函数的导数的计算及化简能力不强

剖析：对于较为复杂的函数的导数的计算及化简能力不强.

8.不善于利用极限思想

在开展微课设计时，不仅要从具体的内容上来进行研究，同时也要控制好微课的时间，加深学生对知识的理解。所以在教学中要保证微课时间上的有效性，通过对知识进行提炼，在综合学生实际情况的同时来保证微课内容的准确性，实现对时间的合理控制，保证微课的有效性，为下一阶段教育活动的开展奠定基础。如在阅读教学中就可以从培养学生写作能力上出发，利用简短的微课来激发出学生的学习兴趣，帮助学生掌握好写作方法，提高学习的效果。

剖析：学生很容易错误地认为先增后减的函数都像开口向下的二次函数一样最后减到负无穷，事实上借助“洛必达法则”可轻松解决.

三、教学建议

1.计算能力

对于数学计算的问题，我们往往有一个误区，认为小学生才需要培养数学计算的能力，而高中生需要掌握的是宏观思考的能力，不再需要培养数学计算的能力.其实这是有失偏颇的，数学计算是数学知识的基础，只要学生学习数学知识，就必须强化数学计算的能力，尤其在全国卷的背景下，计算难度加大，一旦学生出现计算出错，后面的所有过程可能都是错的或者根本无法进行下去.

教师在平时的教学中，要多引导学生掌握一些常用的数学运算的技巧、方法和规则，可以精选一些计算量相对悬殊较大的题目，用充裕的时间去想去做，并结合这些实际题目适时灵活地运用概念、恰当地选择公式、合理地使用数学思想方法.从而达到简化计算、提高计算速度的目的.

2.练好基本功

函数的题目时常简明而清新，但要求学生有较好的函数基本功，学生应深刻掌握函数的基本概念、性质，熟悉一些典型题的基本方法，比如函数单调性的求法，含参问题的分类讨论方法，零点问题的处理策略有哪一些等.

3.培养学生数学思维的严谨性

所谓数学的严谨性，就是指对数学结论的叙述必须精确，结论的论证必须严格、周密，整个数学内容被组织成一个严谨的逻辑系统.［1］

数学教师应注重培养学生的数学严谨性思维，渗透到平时教学的每一个细节中，教师不仅要注重于学生的答案，更要关注学生的解答过程，是否能做到“言之有理，得之有故”.学生平时解题的不严谨，其实也就反映了思考过程的不严谨，长此以往就会造成高考中失误，因此我们一定要让学生在平时解答过程的每一步都做到有理才答的习惯，把可能的疑问和不确定性在平时就一个个攻克掉，让数学解题中的每一步骤都有据可查.

4.培养学生的发散性思维

发散性思维是指从同一问题中产生出各种各样的众多的问题，并在处理这些问题中寻找多种的正确途径的一种思维模式.［2］

在传统的教学中，为了提高做题的效率，我们可能经常强调让学生掌握最简单、最常用的一些方法，同时通过大量题目，利用题海战术来巩固这些所谓的最佳解题思路、解题方法，长此以往，学生就会把思维固定在一个模式上，而不会想着从其他的角度去解决问题，使得思维形成了一个定式，这种情况对于学生的发散性思维是非常不利的.因此，作为一名数学教师，我们一定要改变过去传统的教学思路、解题方法，敢于打破常规，努力在数学教学过程中培养学生的发散性思维.我们要讲究方法，在探究中培养，在质疑中培养，在开放中培养，在求异中培养，在练习中培养，一旦学生形成了较强的发散性思维能力，不仅仅有利于搞好数学学科的学习，对于其他知识的学习也是一个非常有利的工具，这样就为我们成为具有综合素质的人才打下了良好的基础.

5.尖子生需学会洛必达法则的简单应用

高考是选拔考试，数学的区分度高，有利于高校选拔具有学习潜能的人才.近年来高考试卷中的压轴题常是导数应用问题，其中有关函数不等式恒成立求参数的取值范围就是重点考查的一类题型，此类问题使用“洛必达法则”去处理是巧妙而有效的.同时，初等数学教学中，向学生渗透极限等高等数学思想，对以后学好高等数学具有很大的实际意义.而在极限的理论中，“洛必达法则”发挥着重要的作用.［3］

1.沈海澜.从一案例谈高中数学严谨性思维的培养［J］.中学数学研究，2012（5）.

2.余振贤.也谈数学教学中发散性思维能力的培养［J］.成才之路，2010（5）.

3.李晓波.结合“洛必达法则”巧解2016年全国新课标Ⅰ卷压轴题［J］.中学数学杂志，2016（7）.F

*本文系广东省教育科学“十三五”课题“运用‘问题串’开展高中数学教学的实践研究”（课题批准号：2017YQJK134）的研究成果.