以三角函数为载体的综合题型探究——以2015年北京高考题为例

☉江苏省灌云高级中学 施建波

以三角函数为载体的综合题型探究
——以2015年北京高考题为例

☉江苏省灌云高级中学 施建波

以三角函数为背景的综合题型是高考考查的新趋势，高考命题在三角函数性质的基础上，进行知识的综合变式.利用三角函数的特殊性可以简化问题，在对定义域及值域的分析中可以对复合性问题进行定性分析，对学生的综合能力要求较强，这也是今后教学的重点.

一、真题再现

试题（2015年高考数学北京卷）已知函数f（x）=xcosx-sinx

二、试题点拨及评析

1.思路点拨

（1）证明f（x）＜0，则是证明函数的最小值小于等于0，利用导数的性质即可判定.

2.参考答案

当c≤0时，g（x）=sinx-cx＞0，恒成立.

当c≥1时，g′（x）=cosx-c＜0，此时有g（x）=sinx-cx＞0在上是单调递减的，所以g（x）＜g（0）=0，则有g（x）=sinx-cx＜0恒成立.

3.试题评析

本题目是一道典型的结合导数考查三角函数的综合题，除需要熟练使用导数运算之外，还需要充分地利用三角函数的基本性质.对三角函数单调性和奇偶性的判断是解题的基础，分类讨论是解此类题的主要方法.三角函数是中学的基础知识，对学生的基础运算能力和综合推理能力要求较高.合理地在掌握三角函数的基础上与其他知识进行综合是高考对三角函数内容的考查要求.

三、试题变式与拓展

三角函数在高考题和模拟考题中出现的概率很高，考查的知识点也比较综合，下面我们对两道相似的题型进行赏析.

（2）现给出如下3个结论，请分别判断其正确性，并说明理由.

成立；

（1）求函数f（x）的最小周期和它的最小值；

上述两题都是对三角函数的考查，求解三角函数题型都必须准确地把握函数的定义域和单调性，在此基础上对函数进行值域的分析，结合导数的特殊性有助于对函数的单调性进行研究，对于证明题，则可以对结论进行适当的缩放和变形，在三角函数性质的基础上进行求解.

四、教学反思

1.结合教材，对接高考

笔者对历年高考题的研读发现，高考的命题来源于教材，注重基础知识，即使是综合题也是基础知识的结合.教材是教学的根本，也是思想方法培养的载体，高考中题型难度较大的考题也是对基础知识的组合、拓展，然后赋予了新颖的数学背景.高考题是最具有代表性、最为严谨的考题，每道题都经过了命题组的反复推敲和检验，对于师生教学和学习具有极大的帮助.复习中将高考题和课本教材进行结合使用，可以引导学生发展变式思维，在不变的基础知识上进行知识的重整和拓展，为高中的复习增添新的活力，也可以提升教师的教学水平.

2.能力优先，强调综合

高考是一次选拔性的考试，在注重基础的前提下也注意对学生综合能力的考查，本题目就考查了三角函数的基本性质以及函数求导的值域判断，综合能力较强，可以真正的检验学生的真实水平，解题的关键是从基础入手，从简单的变形到复杂的推理运算，符合学生的思维变式.三角函数问题有基础知识的考查，也有综合知识点分析问题的考查，如果学生没有扎实的基础则会很难推进，教学中也是一致的，必须注重学生基础知识的学习，在扎实的基础下开展综合能力的培养，引导学生从简单问题中探究基本概念和规律，然后进行重点知识综合拓展，稳步提升学生的能力水平.

3.强化研究，发展变式

中学知识学习的目的是为了使学生的思维更加活跃，培养自我探究能力，在兴趣培养中提升整体素质，教师在这个过程中是为了更好的启发、引导学生，学习的主体还是学生.教学中要强调研究性，而不是简单地向学生灌输知识，以三角函数为例，在对基础知识讲授后，可以进行多设问，定义域发生了变化导致函数的图像又会如何变化.根据已知的条件，让学生去探究未知的发展，没有思维定式的教学才是好的教学方式，这样既可以加深学生对知识的理解，也可以在延伸拓展中获得新知.

五、总结

三角函数问题是中学的基础知识，也是研究复杂问题的工具，与其他知识点的结合考查是高考考查的趋势，解决此类问题需要老师在教学过程中联系高考真题，回归教材，注重基础，然后在此基础上进行延伸拓展.

1.蔡罡.把握题目特征思路顺利生成——以三角函数问题为例说明［J］.中学数学（上），2015（9）.

2.刘国祥，张敏.对2016年江苏高考压轴题的探究、溯源与启示［J］.中学数学（上），2016（9）.

3.葛小萍.三角函数背景下导数命题赏析［J］.中学数学（上），2016（10）.

4.周婷婷.反思一道“三角函数综合应用题”的典型错解［J］.数学教学通讯，2016（6）.

5.巩松.高中数学教学中学生思维广度与深度思考——以“正弦函数的性质与图象”的教学为例［J］.数学教学通讯，2016（18）.F