立体几何常见题型及解法研究

☉安徽省宣城市宣城中学 梅 垚

立体几何常见题型及解法研究

☉安徽省宣城市宣城中学 梅 垚

从高考对立体几何部分的考查来看，该部分内容的难度处在中档，学生只要掌握了一定的解题方法，就可以将这些分数得到.高中立体几何的学习对于学生的空间想象能力具有较高的要求，外加学生早期并未接触立体几何类的问题，导致很多学生在面对立体几何问题时，显得手足无措.因此，研究高中数学立体几何常见的问题类型和解题策略对于解除学生对立体几何的心理障碍，提高学生立体几何学习的信心和解题能力具有重要的意义.

一、高中数学立体几何常见问题类型

1.证明题

证明类问题在高中几何问题中较为常见，也是较为基础的问题，该类型的问题主要包括垂直类、平行类等问题的证明，其中，垂直类问题主要包括异面直线的垂直、线面垂直、面面垂直等.

例1 在四棱锥P-ABCD中，PA垂直于底面ABCD，其中AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC=4，E是PC的中点.证明：AE⊥CD；PD⊥平面ABE.

题目中要求证明两条直线垂直和直线与平面垂直，其中两条直线垂直可以通过证明两条直线的方向向量垂直来实现，而直线与平面垂直又可以通过证明所在平面直线与直线垂直来实现.在证明第一个问题时，可以通过建立直角坐标系，根据题目中的已知条件标出C点、D点和E点的坐标，进而求出向量CD和向量AE的坐标式，最后根据向量AE垂直向量CD求出AE⊥CD.在证明第二个问题时，可以先根据P点坐标求出向量PD的空间坐标，根据向量AE和向量PD的乘积为零，进而得出PD⊥AE，又根据PD⊥AB，AB∩AE=A，最终求出PD⊥平面ABE.

平行类问题主要包括直线与直线之间的平行、直线与平面之间的平行、两个平面之间的平行等.在证明这一类问题时可以通过以下几种方法进行证明：第一，可以利用直线和平面平行的判定定理，由线线平行来推出线面平行.第二，可以利用两个平面平行的性质定理，由面面平行来推出线面平行.

例2 正方形ABCD和正方形ABEF是两个全等的正方形，它们所在的两个平面相交于AB，其中M∈AC，N∈FB，并且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.

在解决这一问题时，可以通过作BC、BE的垂线MP和NQ，利用NQ、BN、MP、CM的数量关系求证MPQN为平行四边形，再通过MN、PQ和平面BCE的关系得出证明结果.

2.计算题

在高中阶段的立体几何部分的计算题中主要包括点面距离的计算、空间角的计算和空间图形体积的计算几种类型.

第一，点到平面距离的问题是解决立体几何部分距离问题的重点.在解决这一类问题的时候可以利用定义直接作出点到面的距离，再对它们进行计算，还可以将点和面转化到一个几何体中，利用锥体的体积公式来求出“高”.

第二，在高中数学立体几何空间角部分的问题中，空间角主要包括两条异面直线构成的角、直线和平面构成的角以及两个平面构成的角.在解决这类问题时，都是通过寻找图形的性质，寻找它们的特殊性质，例如：中点、垂线等，其过程主要包括三个步骤：“作”、“证”、“算”.首先，对于两条异面直线构成的角可以采用平移法、补体法来构造空间角的特殊关系，以此更好地解决空间角问题.其次，对于直线和平面构成角的问题，关键在于寻找直线与平面的夹角，并作出相应的垂线.最后，对于二面角问题可以利用三垂线定理、定义法和垂面法来解决.

例3 在立体几何图形ABCDEFG中，四边形ABCD是几何体的底，并且是平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，AB=2EF.如果AC=BC=2AE，求平面角A-BF-C的大小.

第三，体积问题也是高中数学立体几何的重要组成部分，其主要涉及锥体和球体的体积计算，解决这类问题的主要思想就是图形转化，将未知图形的体积问题转化为已知图形的体积问题.

3.拓展题

在高考数学立体几何部分中，除了考查一些固定的点、线、面、角等问题，还会考查一些探究性、开放性的问题，这些探究性的问题也往往是围绕来着点的位置、线的长度、空间角和体积的范围来设计.在解决这类问题的时候，一方面，可以通过直接寻找点、线、面等相关量的方式求解，另一方面，可以通过“先假设、后验证、再求解”的方式求解.通过对近几年高考数学立体几何问题的统计可以看出，对于拓展类的问题主要包括以下几种：给定结论去探究问题成立条件；给定相关条件探究相关结论；假设结论存在探究该结论存在的真实性.随着教育改革的实施，高考数学立体几何部分的拓展题型也会不断发展，会在形式上出现新的变化.

例4 在四棱锥P-ABCD中，PA垂直于四棱锥的底面ABCD，其中45°.在线段AD上是否存在一点G，使得G点到P、B、C、D之间的距离都相等？为什么？

二、高中数学立体几何常用解题方法

高中数学立体几何部分采用的解题方法多数集中在以下几种：数形结合、向量方法、建模方法、合情推理等，其中数形结合、向量方法是最为常用的解题方法.

1.数形结合法

数形结合法就是通过“以数助形”、“以形助数”的方式将抽象的数学语言和直观的数学图形结合起来，将形转化为数，或者将数转化为形，能够借助代数的相关知识完成几何图形的求解，在立体几何解题中利用数形结合的方法能够解决那些直接求解难以完成的问题.［1］从本质上来看，数形结合法就是根据“数”的结构特征，构造出对应的几何图形，利用几何图形的规律解决相关的数学问题.尤其是在选择题和填空题上，由于不需要严格的计算过程，利用数形结合法能够帮助学生快速打开思路，完成解题.

例5 一只小虫在2m×3m×4m的长方体上爬行，它从顶点A爬到另一顶点所经过的最短距离是多少？

这是一个考查最短距离的立体几何问题，学生在分析问题的过程中首先需要将空间中的距离问题转化为平面内的距离问题，根据题目可以将空间距离转化为以下几种情况：

图1

图2

图3

根据转化成的平面图形如图1，图2，图3，就可以很直观地求出从A点到另一顶点的最短距离.

2.向量法

向量不仅是高中阶段数学学习的重要内容，还是高中数学解题的重要工具，在新的课程理念中就提到：在解决立体几何问题中，要以向量法为主.［2］向量法主要应用于位置关系、数量关系两部分，在位置关系部分，主要是利用直线的方向向量、平面法向量等知识来解决线线垂直、线面垂直、平行关系的判定等问题.在数量关系部分，主要利用空间坐标系与向量来解决夹角计算和距离计算的问题.

例6 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是四棱锥的底，并且为正方形，PD垂直于底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，过E点作BP的垂线EF交BP于点F.

证明：PA∥平面EDB.

在解决这一问题时，首先建立之间坐标系，通过直角坐标系求平面EDB的法向量，之后根据PA和法向量的乘积为零，可以求出PA∥平面EDB.

3.建模法

在高中立体几何解题中，有很多图形没有明显的垂直关系，难以建立空间直角坐标系，这时就需要构建一个无形的基底，借助这一基底将所需的向量表示出来，这就是建模法，它是利用向量的非坐标形式来解决几何中具体问题的有效方法.

三、结束语

通过对立体几何相关问题类型和解题策略的研究，能够帮助教师和学生发现问题，改变通过题海战术来提高学生解题能力的状况，使学生真正体会到立体几何的乐趣，进而提高学生对立体几何问题的解题能力.

1.罗增儒.中学数学解题的理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

2.张德峰.高中数学解题教学研究［J］.数学学习与研究，2010（9）.F