夯基固本构系统 溯 源纳新谋优化——例谈高三数学复习中试卷讲评的探索与思考

☉安徽省灵璧第一中学 郑 良

夯基固本构系统 溯 源纳新谋优化
——例谈高三数学复习中试卷讲评的探索与思考

☉安徽省灵璧第一中学 郑 良

教育是培养人的社会活动，学校教育是根据社会发展需要和受教育者成长需要，有目的、有计划、有组织地培养人的活动.考试是一定组织中的考试主体根据考试目的的需要，选择运用有关资料，对考试客体某方面或诸方面的素质水平进行测度、甄别和评价的一种社会活动.［1］教育是目的，考试是方法.考试从属于教育活动，具有测量、激励、反馈、诊断、矫正和发展等功效，它能激发学生的学习积极性，促进学生心理和意志品质的健康发展，实现“以考促学”；它能促使教师发现教与学中的问题，通过研究进行完善，实现“以考促教”.

人之行为，皆有目的，为了达到目的，采取某些方法.目的不明，方法就失去意义.考试不是课程结束的标志，而是学习再深入的起点与过程，教学中要通过教育考试具有的督导、发展、导向等功能，实现提高学生数学素养与提升学生综合素质的教育目的.下面以高三复习试卷的测评为载体，谈谈笔者对相关问题的理解，不足之处，敬请同仁批评指正.

一、案例分析

1.模式识别不力，无的放矢

当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一种基本模式，联想到一个已经解决的问题，以此为索引，在记忆储存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略.［2］如果学生模式识别不合理，将会导致无计可施或陷入命题者设计的圈套中.解决这类问题的基本程序是认真读题、细致分析、似然联想、比对确认、尝试优化等，尽可能“多一点想，少一点算”，用无穷的智慧来代替繁杂的操作.例1 已知集合

集合P的所有非空子集依次记为M1，M2，…，M31，设m1，m2，…，m31分别是上述每一个子集内元素的乘积，如果P的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身，那么m1+m2+…+m31=_______.

解析：记T=m1+m2+…+m31，则T为f的展开式所有项系数之和减去1，令x=1，则T=f（1）-1=6-1=5.

点评：不少学生无法揭示问题本质，只能分别求出m1，m2，…，m31，耗时费力.为什么如此构造函数，怎么想到赋值x=1？解题教学讲究瓜熟蒂落、自然天成.教师只有讲好“解题背后的故事”，学生才能知其然并知其所以然，进而提升解题能力.m1，m2，…，m31由M1，M2，…，M31决定，透过结果或形式能否找到问题的一般规律？

T是P中任意n（n=1，2，3，4，5）个元素乘积的和，类比联想原型：关于正整数2160，求：

（1）它有多少个不同的正因数？

（2）它的所有正因数的和是多少？

解析：（1）N=2160=24×33×5，所以2160的正因数为P=2α×3β×5γ的形式，其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，r=0，1.根据分步乘法计数原理得2160的正因数的个数为5×4×2=40.

（2）式 子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式的值就是40个正因数之和.所以所有正因数之和为31×40×6=7440.

算术基本定理，又称质因数分解定理，即每一个大于1的整数都能分解成质因数乘积的形式，把质因数按照由小到大的顺序排列在一起，相同的因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的.将整数分解为连乘积的形式，根据自然数在质因数下分解唯一的性质，可构建自然数与各质因数指数的一一对应关系.根据原型，可知例1重在考查对应关系、乘法计数原理的发现过程等，构造函数法只是形式不同而已.为什么要赋值？如何进行赋值？根据题设条件，借助合理赋值出现解题目标，进而实现解题目的.赋值的背后是解函数方程，先由分析法求值寻根，再用综合法赋值表达.将原型中（其值均为1）抽象成x，然后又赋值（x=1）回来.解答利用分解与整合先求出每个括号内的值再求积，优化思维，提高解题效率.

2.漠视问题特性，事倍功半

美国教育心理学家奥苏贝尔在《教育心理学——认知观点》一书的扉页上说：“假如让我把全部的教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一最重要的因素，就是学生已经知道了什么.要探明这一点并据此进行教学.”浙江省数学特级教师郑瑄认为课堂教学要“循天（数学教育教学的自然规律）而事，因地（学生成长发展的自然规律）制宜，唯求自然，方得始终.”类似地，数学解题时必须明晰目标.只有弄清题设与结论，抓住问题的特性与共性，才能因时而动，随机应变，而不至于沦为简单的、枯燥的机械劳动.

点评：解法1通过模式识别认定本题类型为“已知三角函数的图像求解析式，进而确定相关的性质”，按部就班操作.解法2从函数的图像与性质出发，利用图像变换，直奔目标，事半功倍.众所周知，中学生的数学学习选择能力是指中学生在数学学习过程中形成和发展起来的，能够对学习对象（客体）进行辨别、筛选的，有助于数学学习的一种个性心理特征.中学生的数学学习选择能力是影响学习成绩的重要因素，二者有着较高的正相关.大部分学生还没有养成良好的解题自我监控的习惯，不能选择合适的解题策略，其深层原因是学生学到的是“死”的知识、方法与技能，遇到相关问题时只能和盘推出，无法通过分析、比较、鉴别等手段将已有知识与技能等按需分配.

3.系统构建脱节，无力为继

数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维.系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考查认识对象的一种思维方法.系统思维能极大地简化人们对事物的认知，并提高研究的质量和效率.系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现.［3］课堂教学中，要以数学地认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考.［4］通过学习构建数学整体，从整体上把握事物的联系，树立整体意识和全局思想，提高系统思维水平.现实中，碎片化教学导致学生接受凌乱化，遇到相关问题，无法实现知识间的架构与连贯，知识与思想方法的融合，知识向能力及智慧的延伸.

例3 △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，BC边上的高为，则的最大值为______.

解法2：设a=2，以BC的中点为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0），则A（m，，所以

解法3：设a=2，以BC的中点为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0），则，所以，整理得（t2-1）m2-2（t2+1）m+2t2-2=0（※）.

图1

当t2=1时，m=0；

当t2≠1时，（※）式的判别式Δ=-4（t4-6t2+1）≥0，得且t2≠1，即且t≠1.

点评：解法1利用“算二次”思想得到a，b，c，sinA的关系，代入余弦定理整体代换构建关于A的三角函数，借助“二合一”（）公式求出函数的最大值.解法2根据目标为齐次式的特征，利用正弦定理化角为边，根据点C的轨迹利用解析法构建目标关于变量m的函数，然后利用均值不等式（或利用函数的性质）求解.解法3根据目标式的齐次关系巧妙设元，先利用判别式法求出新元的范围，进而转化为新元的函数最值问题.不少学生使用解法1得到a2=2bcsinA（或过点A作AH⊥BC，垂足为H，利用可得sinA=2sinBsinC）后思维断线，使用解法2得到后不知该往何处发展实不应该，使用解法3不会用判别式法等.学生的核心素养如何体现？在遇到教师没有教过的问题，能（善）用教师已经教过的知识来对付.

图2

例4 如图2，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为正三角形，侧面都是菱形，且A1在底面ABC上的投影为BC的中点O.

（1）证明：侧面BCC1B1为正方形；

（2）求二面角C-AB-C1的正切值.

解析：（1）连接OA，△ABC为正三角形，且O是BC的中点，所以OA⊥BC.因为A1在底面ABC上的投影为BC的中点O，所以OA1⊥BC，OA∩OA1=O，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥AA1.因为AA1∥BB1，所以BC⊥BB1.又BCC1B1为菱形，所以侧面BCC1B1为正方形.

图3

（2）方法1：由题意，知OA，OB，OA1两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，如图3所示，设AB=2，则A，设平面ABC1的法向量为n=（x，y，z），则令x=1，得根据题意可得平面ABC的法向量为m=（0，0，1），则cos〈m，n，所以，即二面角C-AB-C1的正切值为

图4

点评：学生解决第（1）问畅通无阻，处理第（2）问多用向量坐标法，遗憾的是少数学生无法建构联系，一招不慎（点C的坐标表示错误），满盘皆输.学生在考试中及试卷校对时均偏爱向量坐标法，害怕传统方法.其深层原因是学生的知识储备不足、分析能力不强、思维能力不高，解题时遭遇知识混淆，思维脱轨等冷遇.当然，理论根基不牢也会导致向量坐标法错误百出，如知识张冠李戴，公式移花接木等.恩格斯说过：“思维是地球上最美丽的花朵”.美国数学教育家G·波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”教师教学要从疑问与惊奇开始，用问题拨动学生的心弦，实现数学知识与数学情感的融合、数学思维的提高与数学文化的升华.

4.深度学习缺乏，浮于表象

《高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来的人生规划的思考.”布鲁纳说过：“探索是数学的生命线”.通过探究学习，学生不仅掌握了数学知识，还学习了数学方法，获得了情感体验等.现实教学中，师生教与学有量无质，充满着困惑与彷徨，数学理解始终在低层次中徘徊，与见微知著、触类旁通相距甚远.学生遇到问题往往被命题人牵着鼻子走，找不到较好的解题途径.

例5已知函数f（x）=|x-2|-a|x+3|.

（1）若a=-1，求f（x）的最小值；

（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围.

解析：（1）当a=-1时，f（x）=|x-2|+|x+3|.

方法2：f（x）的几何意义是数轴上一点P（x，0）到A（-3，0）与B（2，0）的距离之和，所以当-3≤x≤2时，f（x）的最小值为5.

方法3：f（x）=|2-x|+|x+3|≥|2-x+x+3|=5，当且仅当-3≤x≤2时等号成立.

若a≥1，当x≥2时不合题意.

若-1＜a＜1，当x≥2时，f（x）单调递增，所以有f（x）≥（f2）=-5a≥2，得；当-3≤x＜2时，（fx）单调递减，所以有（fx）≥（f2）=-5a≥2，得；当x＜-3时，（fx）单调递减，所以有f（x）＞f（-3）=5≥2恒成立.所以有（通过图像可以得x=2时，函数f（x）取得最小值）

若a=-1，函数f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，当-3≤x≤2时，f（x）=5为常数函数，符合题意.

若a＜-1，函数f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，+∞）上单调递增，所以有f（x）≥f（-3）=5≥2，符合题意.所以a＜-1.

方法2：f（x）≥2恒成立，即|x-2|-a|x+3|≥2恒成立.

当x=-3时，a∈R.

方法5：由f（x）≥2恒成立，即a|x+3|≤|x-2|-2恒成立，而在同一坐标系下，分别画出函数h（x）=a|x+3|与g（x）的图像，如图5所示，由图像可得.所以实数a的取值范围为

x y=g（x）（2，-2）y=h（x）y（-3，0）O

点评：对于第（1）问，方法1为零点分段法，通过绝对值的代数意义去掉函数f（x）中的绝对值，进而利用函数的图像（性质）解答；方法2利用绝对值的几何意义，结论清晰直观；方法3为公式法，利用绝对值的三角不等式求函数的最值，验证最值成立的条件颇为关键.对于第（2）问，方法1为函数最值法，去绝对值需要对x进行分类讨论，再考虑（各子）函数单调性需要对a的范围进行划分，事无巨细，过程繁杂，最终的结论是各类情况中a的范围的并集；方法2为分离参数法，通过对x进行划分，由逻辑关系可知最终的结论是各类情况中a的范围的交集；方法3与方法4均利用了必要性解题策略（可以在的基础上求函数f（x）的最值来检验结论），利用a的边界值（上界）进行消元，以静制动，其中方法3利用分段函数的性质，方法4直接利用（多个绝对值的和）函数最值的性质直接求解；方法5为数形结合法，通过两个简单的函数图像直观地得出问题的结论.深度学习的程度决定着解题方法的优劣，思维水平高的学生能审时度势、气定神闲地选用解题的最佳方案，实现一招制敌；反之，思维水平低的学生常常望文生义、跼蹐不安中尝试解题的“原始”方案，往往劳而无功.

5.文化底蕴淡薄，流于形式

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和追求形式化的特点.目前，中学数学教育往往筛去了“文化”（数学精华），只留下“技术”（机械操作），将数学演变为纯粹推理与计算的科学，沦为考试测试的工具，导致学生对数学的思想和精神了解肤浅，对数学宏观认识和总体把握粗陋，对数学的学习索然无趣甚至心生厌恶.解题时在封闭的“孤岛”上搜寻、演绎着可靠的逻辑，呆板地、枯燥地演练充斥着符号、数字的游戏.缺乏鲜活思维的劳作，难以激发学生的兴趣，无法提高学生的数学素养和鉴别能力，更谈不上领悟数学文化的魅力.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在经过原点O的直线BD和AC相交且交E于B、D两点，使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出直线BD的斜率；若不存在，请说明理由.

点评：第（1）问的两种解法均为常规解法，上面给出第（2）问的解法为通性通法.为什么OM的斜率是，四边形ABCD的面积最大值为，你能一眼看出它吗？结论是否具有一般性？通过坐标的伸缩变换可知（基本结论证明较为简单，证明过程略）：对于椭圆（a＞b＞0），通过x′=x，y′=my （ 其 中）进行变换，椭圆变换为圆x2+y2=a2，变换前坐标系xOy中的点A，B，C，…与变换后坐标系x′Oy′内的点A′，B′，C′，…对应.则有以下结论：①若A，B，C三点共线，则A′，B′，C′三点仍然共线；若AB∥CD，则A′B′∥C′D′；②若AB的斜率为k，则A′B′的斜率为mk；若C分线段AB的比为λ，则C′分线段A′B′的比为λ；特别的，若C为线段AB的中点，则C′为线段A′B′的中点（其中k为AB的斜率）；④变化后封闭图形的面积是变换前对应封闭图形面积的m倍，如S△A′B′C′=mS△ABC.

数学文化主要包括数学的历史、思想、方法、精神，以及数学与人类其他知识领域之间的关联等.只有弄清问题的背景，通晓来龙去脉，才能知其然并知其所以然，在学到问题结论的同时，深化了对问题的过程性理解，感悟了两者之间的联系，显示了数学的魅力与价值.美国数学家和数学史家M·克莱因早在1986年就批评过数学教学：“各级各类小学、中学、大学都把数学作为一门孤立的学科来讲授，而很少将其与现实世界联系起来.”［5］我们的教学在为学生的升学考试负责的同时，更要对学生的终身发展和幸福人生负责，采用文化育人，继承与发展无数先哲为我们留下的宝贵的精神财富.

二、教学思考

1.回归教材，夯实基础

美国教育家戈温认为：“教材是好的思维或情感的媒介，是思想或过程的权威记录，是概念或知识实体的编制者，是增加意义和丰富经验的刺激物，是具有潜能可促使新事件发生的过去事件的记录.”回归教材是前提，夯实基础是保证，提升能力是目标.目前，很多教师无视教材，热衷于在鱼龙混杂的各种资料中游弋.对照各类试题，能够清楚地发现“题在书外，根在书中”.它们或是教材内容的迁移，或是教材例习题的简单变式、重组或拓展，或以教材阅读材料为背景设置问题等.如例5的本质为含两个或以上绝对值的函数的最值问题，文献6中有第四章“2.1实际问题的函数刻画”的问题3：如图6，在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站.现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分

别向情报中心辅设专用通讯电缆，怎样刻画专用通讯电缆的总长度？（分析与解答略）而以此为载体的高考试题有：2014年全国卷Ⅱ文理科第24题，2014年安徽卷文理科第9题，2014年福建卷文科第12题，2014年江西卷理科第11题、文科第15题，2014年重庆卷理科第16题，2016年全国丙卷文理科第24题等，以此为载体的自主招生题有2011年北约自主招生第7题等.绝对值个数的多寡及函数是否含有参数决定着试题解决的难易程度，进而区分学生思维水平的高低.例6源自选修4-4第一章第1节“平面直角坐标系”（1.1 平面直角坐标系与曲线方程，1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换），类似的问题有必修2第一章第2节直观图（直观图的画法及原理）等，通过教材深度解读及深入学习，以上问题的解决水到渠成.

图6

在高考复习时，（1）重新精读教材内容，升华对知识、思想方法的理解.仔细琢磨正文内容，品味对正文的注解与旁批.理清问题的引入、发现、发展、分析、总结等过程，感悟解决问题的基本脉络，从新的高度去温习，可以形成一个更完整的认识、更全面的理解.（2）挖掘教材例题和习题，强化例习题的迁移能力.新课学习时往往局限于基本任务的达成，复习时应从一题多解、一题多变、多题一解等角度重新审视，从命题者的角度对试题进行加工与整合，从解题者的角度对问题进行解构，并尽可能从现象中揭示本质.（3）通过拓展性栏目深化对基础知识的理解与应用.阅读材料等拓展性栏目对教材相关内容、思想的注解与延伸，新课学习时限于认知水平，往往无法准确领略其内涵，复习时要从更高的角度系统地理解该内容的博大精深.如通过必修2第一章的课题学习（正方体截面的形状）来加深对截面及其性质的理解与应用.

2.重视探究，强化过程

数学课堂教学是学生在师生、生生对话交流中思维砥砺、增智怡情的过程.探究既是学习的主要特点，也是新课程改革所倡导的学习方式.探究教学是指在教师的指导下学生运用探究的方式方法进行学习，主动获取知识、发展能力的实践活动.高中数学新课标明确指出“数学探究课题的选择是完成探究学习的关键”.宁连华等通过研究认为：“数学探究学习的主流形式不是调查、实验性活动，而是突出表现在以思维活动为特征的问题探索或解难题范畴.”［7］重视过程教学，就是让学生在教师的引导下，充分利用已有知识及生活经验主动探求新知，把教材的间接经验通过自身实践去重新发现，建立新的认知结构.学生正是通过探求知识的发生、发展过程，各种能力才得以发展.如：已知数列｛an｝共有9项，其中a1=a9=1，且对应每个i∈｛1，2，3，…，8｝，均有则数列｛an｝的个数是_____.如何通过一系列运算保证a1=a9=1呢？（面对相对陌生的问题，产生了一定的认知冲突）从首尾的状态看，结果不变，需要怎样的变换才能保证结果的“不变性”？（适度有效的自我引导或教师引导）平移变换或伸缩变换中加法与乘法的单位元是什么？现实情境与等比数列模型差异在哪里？（探寻相应的知识能力储备）数字“2，1，-”各需贡献几个？以哪一个数字为分类标准？（通过较强的反思监控能力优化解题过程）通过数列与变换的一一对应关系可知（1≤i≤8）中有2k个2，2k个-，8-4k个1，且k的所有可能取值为0，1，2，数列｛an｝的个数是491.教师稚化自己的思维是化解难点的有效途径，稚化思维是指在教学活动中，教师把自己的外在学术性的话语权威隐蔽起来，不以知识丰富的指导者自居，而是把自己的思维降格到学生的思维水平，充分关注学生的原有知识储备和经验背景，有意识地返回到与学生相仿的思维状态，设身处地地揣摩学生的思维，切合学生的心态，以与学生同样的认知兴趣、同样的学习情绪、同样的思维情境、同样的探究行为来完成教学的和谐共创，从而达到和学生的思维保持同频共振的一种教学艺术.通过过程探究，培养学生分析问题、解决问题的能力，让学生从贴地而行到云端跳舞.

3.构建整体，理性思辨

数学学习，不只是为了会解某道题或某类题，更重要的是激活与发展学生的思维，即数学学习成果的最终表现形式应该是学生变得越来越聪明.整体是事物的一种真实存在形式.数学也是一个整体，数学中的整体性既体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，也体现在同一部分内容知识的前后逻辑关系上.当我们遇到一个问题时，能自发立足局部、着眼整体，系统思维、理性思辨，发散中谋求策略方法，收敛中聚焦思维优化.如例2中整体与局部的思辨，例3三角函数内外的考量，例4第（2）问传统方法与向量坐标法的比较等.又如：已知向量a，b的夹角为，|a|=1，若对一切实数x，

|xa+2b|≥|a+b|恒成立，则|b|的取值范围是________.可将条件“|xa+2b|≥|a+b|”平方整理得到关于x的一元二次方程，利用其判别式不大于0即得解法1，解法2是坐标法，向量是代数与几何沟通的桥梁，尝试从向量和的几何意义出发，如图7所示，由可求得结果，即为解法3.

图7

4.精心设计，教育无痕

德国一位学者有过一个精辟的比喻：将15克盐放在你的面前，无论如何你难以下咽.但当将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你在享用佳肴时，就将15克盐全部吸收了.这表明要达成好的结果，手段与方法同样重要.教育是心灵与心灵的融合，是灵魂与灵魂的对话，是智慧与智慧的碰撞，是生命与生命的互动.无痕教育是指把教育意图和目的隐蔽起来，通过间接、暗示或迂回的方式（不知不觉、潜移默化、不留痕迹），给学生以教育的教育方式.它既是一种教育方式，更是一种育人技巧，是一种教育的美学哲学境界.将教育的意图掩盖起来，一种充满人性关怀的超凡的教育智慧.教育无痕，彰显出教育的最高境界：似雪落春泥，悄然入土，孕育和滋润着生命；虽无痕，却有声有色；虽无痕，却有滋有味；虽无痕，却如歌如乐，如诗如画.德国教育家第斯多惠说过：“我们认为，教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞，而没有兴奋的情绪怎么能激励人，没有主动性怎么能唤醒沉睡的人，没有生机勃勃的精神怎么能鼓舞人呢？”赞可夫指出：“教学法一旦能触及学生的情绪和意志领域，触及学生的精神需要，这种教学法就能发挥高度有效的作用.”陶行知先生也有一个精辟的比喻“接知如接枝”.他说：“我们要把自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识方才可以接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机部分.”如例1中构造函数并赋值能极大地激发学生的探究兴趣，引领其自发地思考解法的缘由.教师在理解数学、理解教学、理解学生的基础上精心设计，用自己热诚、激情、真情带动学生的热诚、激情、真情.只有激情和真情才会在师生之间产生一种互相感染的效应，从而不断激发学生学习的热情，唤起学生的求知欲，诱发学生学习的欲望，进而构建知识体系，激活数学思维，提高数学能力，提升数学素养.

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