直击数学复习教学的核心视角

☉江苏省如皋市第一中学 夏 隽

直击数学复习教学的核心视角

☉江苏省如皋市第一中学 夏 隽

数学复习教学是体现教师设计能力、注重知识核心的总结性教学，对于学生知识掌握程度、深度、广度有重要的联系作用.但是复习教学又需要一定的层次性，这里的层次性复习对于学生而言是一种收获较大的复习学习.以往对于学生高三数学复习教学，采用的是一轮二轮三轮这样的普遍模式，在这一模式中一轮是全面梳理、二轮是专题复习、三轮是综合卷反复，这样的教学体现的是密集、集中的训练模式，学生在疲劳反复低效中提升自己，而且就笔者了解大多数学校采用依旧是市面上的教辅资料，而教辅资料的编写者都是对五年模拟、三年真题进行重组，谈不上任何细化、分类，这样的教学难免让学生昏昏欲睡，提升效果缓慢.

从每年稳中有变的考纲和试卷变化来看，复习教学也需要紧跟上述变化，做出合理的应对，那种以往一成不变的三轮复习模式势必要进行合理的修正，否则，师生在教学中都是疲于奔命而且效果不佳.因此笔者认为，重视试卷反馈的信息、直击复习教学的核心视角、做出具备校本特色的复习是符合复习教学本质的一种教学活动.

一、重通法，辅特技

以往的复习教学一直强调数学知识的通性通法，而一味的批评特殊技巧、特殊性质的使用.笔者认为，这种看法是片面的.从学生实际情形来看，数学能力较强的学生不可能仅仅只会通性通法，而是依据其能力匹配合理的特殊技巧和性质，这必定在一定程度上大大加快其问题解决的速度，所以通性通法要重视，但依据合理的学情，特殊技能也可以辅助教学，做到有能者为之.

问题1：定义在实数集上的奇函数f（x）恒满足f（1+x）=（f1-x），且x∈（-1，0）时，则（f4.5）=________.

分析：对于学生而言，若从通性通法的角度来说，其必定是将f（4.5）通过奇函数和f（1+x）=f（1-x）这两个性质进行化简，但是这种化简学生比较生疏，而且若求f（145.5）怎么办？是不是多次使用性质？显然这里涉及抽象函数的一些特技：

特技1：若函数f（x）在R上满足f（a+x）=f（a-x），且f（b+x）=f（b-x）（其中a≠b），则函数y=f（x）以2（a-b）为周期.

特技2：若函数f（x）在R上满足f（a+x）=-f（a-x），且f（b+x）=-f（b-x）（其中a≠b），则函数y=f（x）以2（a-b）为周期.

特技3：若函数f（x）在R上满足f（a+x）=f（a-x），且f（b+x）=-f（b-x）（其中a≠b），则函数y=f（x）以4（a-b）为周期.

本题恰恰是特技3的使用，奇函数f（x）关于（0，0）中心对称，且f（1+x）=f（1-x）表明函数f（x）有对称轴x=1，因此函数f（x）是以T=4|1-0|=4为周期的函数.因此f（4.5）=（f0.5）=-（f-0.5），由x∈（-1，0）时，可得（f4.5）.显然与轴对称、中心对称、周期性相关的函数抽象表达式之间的一些特殊结论，是我们解决抽象函数的重要特技，有了这些特技对于学有余力的学生而言，自然是获得了更高、更快的解决方式，提高了问题解决的效率.

问题2：与数量积相关的特技——向量的极化恒等式.设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有.则下列命题中正确的为______________.

（1）∠ABC=90°；（2）∠BAC=90°；（3）AB=AC；（4）AC=BC.

分析：学生对于本题的第一反应是

图1

上述两个问题，我们发现有些特技简化了问题的求解过程，省略了不少过程，如问题1；有些特技完全是高等数学中知识本质的反馈，如问题2.在通性通法掌握的同时，若能拥有一定的特技，在复习教学的学习中势必比他人拥有更为丰富的“武器”.在高考阅卷中，无论这些方法是中学数学教过的，还是各种高等数学的结论，笔者认为根据学生自身能力掌握适合自己的是非常行之有效的.

二、思概念，归教材

数学概念是复习教学中往往受忽视的，因为概念怎么复习？常规的复习工作恰恰是用一些不痛不痒的问题在概念表面简单梳理，这种复习可以说是对概念的浅表性层面进行巩固，但是难以在概念深处有着深刻的思考和理解.如何才能做好复习教学中的概念复习呢？这个问题需要教师层层递进的合理设计.以函数概念为例，笔者设计了函数概念中两大难点：定义域和概念的深度理解.

变式1：函数y=f（x）的定义域为［-1，1］，求函数y=f（x+1）的定义域.

变式2：函数y=f（x-1）的定义域为［-1，1］，求函数y=f（x+1）的定义域.

变式3：函数y=f（x）的定义域为［-1，1］，求函数y=f（x+1）+f（x-1）的定义域.

变式4：函数y=f（x）的定义域为［-1，1］，求函数y=f（x+a）+f（x-a）（a∈R）的定义域.

分析：为了凸显函数概念中定义域部分的理解，笔者设计了问题3及其变式组，从具体函数入手，结合抽象函数的思考，让我们理解定义域的真正含义.变式2对于学生而言是一个跨越，学生对于条件“函数y=f（x-1）的定义域为［-1，1］”的理解，有助于其解决“函数y=f（x+1）的定义域”；有了变式2的理解，才有了学生函数概念中定义域真正的、更深的理解，即法则“f”的理解.

问题4：存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有_____________.（填写符合题意的函数）

分析：作为中学数学最重要的概念，函数概念已经有了很多简单的表面考查，但是直击概念深度的考查是少之又少，给出问题4从函数概念更深的层次去思考.不少学生对于本题的第一反应是题意似乎没有讲完整，根本未能理解题意.这就需要在复习教学中直击概念的核心——函数中法则“f”到底怎么理解（图2）？这里的每一个x∈R是不是法则“f”的定义域？在较为抽象的形态下，学生陷入一种茫然.让我们直击函数概念最本质、最核心的部分：

图2

以（4）为例，不妨令x=0和x=π，则f（0）=1及f（0）=π-1，显然不存在这样的法则“f”.其余依次可知正确性，只有（2）正确.思考概念，回归教材是复习教学有效性的重要方向，切忌一味地在重复训练中盲目向前，以训练这些缺乏思维含量、仅仅提高熟练度的试题耗费学习的积极性，破坏学生思考的深刻性，这是复习教学的重要视角.

三、要运算，强算理

数学离不开运算，但是恰恰在这一环节上学生失去了太多的得分可能性，往往有很多学生在试卷分析的时候强调这个会算、那个会算，但是在考场中每次都“失之毫厘，谬以千里”，这是什么原因呢？仅仅是运算错误这么简单？显然不是，从笔者观察来看，学生复习中不重视运算和算理是主要原因，这些运算失分可以从算理角度上思考，因此强化算理是提升运算质量的关键.

图3

问题5：如图3，已知抛物线C：y2=-4x上横坐标为-3的一点，与其焦点的距离为4，设动直线y=x+b（b＞3）与抛物线C相交于A、B两点，问：在直线l：y=2上是否存在与b的取值无关的定点M，使得∠AMB被直线l平分？说明理由.

分析：解析几何是中学数学运算量最大的章节，直线和圆锥曲线的位置关系则是重中之重.不少教师和学生对于其的认知停留在只要会算、肯算就好，殊不知这一认识的片面性.近年来愈来愈多的问题不仅仅是考查运算，而是更从算法算理优化的角度进行先认知，只有获得合理的算法才能简化问题的运算，这是复习教学需要教师引领的.本题中“∠AMB被直线l平分”这一条件如何转换为合理的算法？在代数解决几何问题中最快捷的方式是kAM=-kBM.给出简解：

不妨令A（x1，y1），B（x2，y2），设存在点M（a，2）满足条件，由已知得kAM=-kBM，即有，整理得由得y2+4y-4b=0，即y1+y2=-4，y1y2=-4b，有-4b·（-4）+4a（-4）-2［（-4）2+8b］-16a=0，得a=-1，因此存在点M（-1，2），经检验满足题意.显然，合理的算理简化了角平分线的处理.

总之，复习教学不再是以往一味的重复性操作，这样只会久而久之降低复习的效率，我们要从更多的方面直击复习教学的核心，从高考一再提醒的回归教材、重视基本、强化算理、掌握特技等全新视角出发，让学生的复习更上一层楼.

1.杨玉东.高中数学试题分析实施中的思维反馈［J］.中学数学，2015（2）.

2.柴贤亭.数学解题教学中的思维启发设计［J］.教学与管理，2014（10）.

3.郑毓信.解题教学理论的必要发展［J］.中学数学月刊，2016（1）.F