合理利用波利亚解题模型于解题教学

☉江苏省锡东高级中学 叶 琳

合理利用波利亚解题模型于解题教学

☉江苏省锡东高级中学 叶 琳

数学教学的重要任务是提高数学解题能力，学生解题能力的强弱很大程度上决定了数学教学质量的高低，因此提高学生解题能力这一任务应该贯穿于教学始终，它是一项长期复杂的系统工程.笔者结合备课组的教学模式，尝试将波利亚的解题表具体化到可操作的步骤：读题分析、提取组合、解题反思，并付诸于教学实践，提高学生的解题能力.

波利亚的数学解题思想表现在解题表上：“第一，你必须弄清问题.第二，拟定计划，找出已知数据与未知量之间的联系.第三，实现你的计划.第四，回顾检查所得到的解.”它站在系统的高度给出了求解问题一般的步骤，在教学中我们从“读题分析—有效提取—探索—解题反思”几个步骤来训练提高学生的解题能力.

一、生成合理的问题表征，引导学生分析

审题就是弄清问题，了解题意的过程，也是对问题进行表征的过程.解题教学的关键是指导帮助学生恰当地进行问题表征，寻找解题突破口，可以从以下几个方面着手：①要将题目转化为数学题目，比如实际问题（像应用题），要从题目中大量的文字语言描述转化为数学语言描述出来.②列出题目中所给出的条件和要求，条件包括题目中给出的数据、等量关系、函数的模型等，还包括已有的公式、原理等；要求是指题目的问题，需要达到的目标.③搜索缩小条件和要求的范围.在明确条件和问题后，结合已有的认知结构，确定判断题目条件和问题中所涉及的知识点，可以用什么方法或者技能来解决.

案例（一）学生的读题审题训练

图1

例1 如图1，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在△BCD内运动（含边界），设，则α+β的取值范围是_________.

读题分析：（1）本题目本身就是数学语言阐述的题目，故不需要将其转化为数学问题.

（2）条件有5个：“直角梯形ABCD”，“AB⊥AD”，“AD=DC=1，AB=3”，“P在△BCD内运动（含边界）”，“；问题：求“α+β”的取值范围.

（3）在明确条件和问题之后，开始判断它们的范围，“点P在△BCD内运动”，即点P的范围在三角形内，可能要用到线性规划来解决.

在实际教学过程中，我要求学生在读题时养成把题目条件圈出来的习惯，考试或者解题时很多学生读题很马虎，读题时一目十行，题目还没看完就下笔去做，结果不是条件漏看了就是看错了，导致解题错误.读题时圈出条件，视觉感知变得强烈起来，第二遍读题或者审题时可以关注圈出来的条件，减少审题马虎导致的错误.

在教学实践中笔者发现有些学生在读题阶段出现以下问题：①数学专有名词理解困难.如求导数的极值点，学生不知道极值点是什么意思；再如利用“二分法”求方程的近似解，有的学生都不知道二分法是什么.②问题结构不清楚，信息识别能力低.有的学生对题目的表述不清楚，不能形成完整的问题空间，或者只知道问题的总体结构，但是不知道条件和问题分别是什么.

这是高三一轮复习“基本不等式”中的一道填空题，当时难倒了很多同学，有的同学读题时就卡住了，不理解h的含义，它表示什么都不清楚，有的同学想到了本题是关于a，b的二元变量问题，可能要用到基本不等式，但是不知道条件是什么.这些都是因为学生受到数学语言的影响，不能正确地理解数学符号及模型与它们所表述的问题中的量之间的关系.

学生解题的能力与学生对问题的熟悉程度有关，这取决于他所具有的知识基础和相关的解题经验，如果他能够用先前的知识合理地表征当前的问题，或者在以往的经验中发现一个类似的问题，那么解决问题的可能性就比较大了.

二、有效提取组合，拟定解题方案

探索解题的途径拟定解题方案是解题中最重要也是最困难的环节，可能这个环节它用时最多，而且在实施方案过程中发现它是错误的或者太繁，那么又要重新拟定新的解题方案.最为关键的是在每次探索过程失败了，又要重新回到审题阶段，找出失败原因所在，重新提取组合，拟定方案.在整个解题过程中审题与拟定解题方案是紧密相连难以分开的，即审题中需要拟定方案，拟定方案中需要进一步审题.

在尝试利用波利亚解题模式解题时，学生尝试这样的解题步骤：①读题的同时圈条件，将文字转化为数学语言，列出条件和问题；②读题以后，你马上想起的数学知识有哪些？你从已知、题设能想到什么，从结论中考虑需要什么信息，这两者如何产生火花？

后面的思考有几条常见的解题途径（按顺序）：

途径1：“问题直接可以用定义、公式、定理求解”，把握题目的信息后，通过对问题表征的观察，直接可以用相关的公式、定理、公理解决问题，或者从中挖掘符号、图形、数量等信息，找到解题思路的突破口.

途径2：在脑海里寻找相同的或者类似的题目，化新问题为已知问题.进入审题环节后，能否找出与新问题相关的问题或者题目类型，或者是相类似的问题，这里的相似可以是题目背景的相似，也可以是问题的阐述相似，或者是隐含的模型相似抑或问题的解法相似.因此掌握基本题型是有必要的，只有掌握了一些典型例题，在解决新问题时才容易找到化归的方向.研究表明，学生类比联想问题识别能力对学生的解题有很大的影响，可能会影响学生的解题速度，影响寻找策略和实施策略环节.

途径3：多步化归，改变表述方法.数学知识的特点之一是相互之间有着广泛的联系，面对复杂难题时已有的认知结构找不到相应的或者类似的模型，这时可以利用等价条件代换题设或者结论，尝试去重新构造问题，组织问题，转化为一个可能相关的问题或者熟悉的问题，再进行解题.在读题分析的过程中，笔者让学生说出解题过程中遇到困惑的地方，在思考过程中哪里出现了思路中断或思路受阻，受到阻碍的原因是什么.解题结束后老师和学生一起分析、回顾解题中零星的想法和凌乱的解题思路，揭示解题的盲点，寻找绕过障碍的道路，找到出路.

案例（二）一次作业讲评课片断

在实施这样的解题步骤的过程中，班级学生由不习惯到慢慢适应，在课堂教学中思维也渐渐活跃起来，一次的习题讲评课让我至今记忆犹新！实录如下：

如图2放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是_____________.

x A B C D O y

笔者在呈现出题目后，找学生起来读题，学生分析完条件后给出了自己的思路：“老师我用平面向量基本定理做的由得到，其中α是与的夹角，故得到最大值为2.

笔者：很好，小Z同学从结论出发利用向量基本定理来处理这个问题，过程严谨，表述规范，是同学们学习的榜样！

话音刚落，教室里讨论声响起来，男生小H站起来：“老师她的解法烦琐了，我是用平面几何做的，不要太省力哦.”

这样的百家争鸣的场景正是笔者需要的.

笔者：“真的吗？你说说你是怎么做的？”

小H：“过B，C分别作x轴，y轴的垂线交并于M，N两点，设AO=a，OD=b可以证明△AOD，△BAM，△BAM全等，所以OD=AM=CN，OA=DN=BM，设B（a+b，a），C（b，a+b），所以b（a+b）+a（a+b）=a2+b2+2ab，又最大值是2.

图3

此时小M举手示意：“老师，我是用矩阵变换做的！”

“矩阵变换也可以做？”不少同学露出惊讶的表情，（矩阵变换是附加里面的内容）.笔者也拿不准思路究竟对不对，就让学生继续往下说，设A（a，0），D（0，b），则可以看成绕A点顺时针旋转90°，求得B的坐标后，再同理求C的坐标，最后用数量积的坐标表示求得答案.下面不由自主地响起了掌声.

课后笔者感慨颇多，如果我们的课堂都能像这节课一样，各种解法百花齐放，每个学生都会在这节课学到很多，在教学活动中老师充分展示学生的思维过程，培养学生的创造精神和探索精神，当然教师的引领十分重要，对于学生易混淆的问题，要通过变式问题不断强化，不断练习，让学生来领悟其中的解题奥妙，学会从多角度思考问题的方法.

三、适时解题回顾与反思，温故而知新

波利亚说：“想要从解题中得到最大的收获，应当深入理解如何解题的，思考是否还有更简单的解题方法？如何克服障碍？本问题中是否隐含重要的思想方法等等.”现在很多学生迫于升学的压力，整天在做大量的试卷中度过，但多数学生对解题过程的认识仍处于感性阶段，解题追求数量的积累，以为数学多做题，能力就能提高，但是解题量的积累没有促使质的转变，最关键的是他们少了反思、回顾的过程，没有反思就没有总结就谈不上提高.

笔者对班里数学较好的学生做了一次访谈，访谈中发现数学好的同学做完题目后，很多也是把题目丢到一旁，去找别的事做，很少去回顾过程.在一开始提出回顾反思这个话题时很多同学不知道怎么反思，笔者引导学生解题结束首先回顾解本题用到哪些知识，什么解题方法，其次一定要回顾本题的解题方法是什么，解题过程中走了哪些弯路，在哪里遇到了什么困惑，如何处理的等等.

回顾不光是回顾解题成功的经验，更要反思解题失败的教训，找出犯错的根源，每个学生都有过这样的体验——遇到难题时自己百思不得其解，而同伴或者老师稍加指点便想到了解题思路，而且解法不是很难.其实数学问题的解决往往在一个“思维点”上，这个思维点一旦突破，问题自然迎刃而解.通过解题反思可以梳理解题过程，突破自己的解题障碍，久而久之，就可以总结出带有规律性的经验，可以是解题策略，解题元认知知识等等，它们都是今后解题的经验指南.