高中数学数列问题高考题型及解题方法研究

☉江苏省如皋市第一中学 吴雅琴

高中数学数列问题高考题型及解题方法研究

☉江苏省如皋市第一中学 吴雅琴

高中数列知识不仅是高中阶段的重要数学知识，还是今后学习高等数学的基础.从内容的分支与构成上来看，数列部分的知识具有较强的基础性和发展性，能够与高中数学中的很多知识相结合，构成新的知识点来考查学生.例如，数列经常与函数、不等式、解析几何等内容相结合来出题.另外，数列类考题多数与学生的现实生活密切相关，是数学知识在现实生活中应用最为突出的案例，因此，研究高中数学中的数列问题，不仅有助于提高学生高考数学成绩，还有利于学生培养学会对数学的应用能力.［1］

一、高考数列部分考点分类概述

通过对近些年高考数学数列部分考题的分析可以看出，数列部分占据着较大的一部分分值，并且很多压轴题都涉及了数列的相关知识.

从数列考点的分析上来看，在等差数列中，等差数列的概念、通项公式与前n项和公式、在实际问题中的应用、与一次函数的关系是要求学生必须掌握的知识.在等比数列中，等比数列的概念、通项公式与前n项和公式、在实际问题中的应用、与指数函数的关系是要求学生必须掌握的知识.而数列的概念、表示方法、自变量函数、数列的递推公式则是要求学生了解就可以.从高考数学真题的统计情况来看，多省对数列知识的考查是采用一个小题和一个大题相结合的方式，仅有个别省考查一个小题，但是小题考查的知识点也较为全面.

通过对2015年全国高考数学卷的数列部分考题内容的统计可以看出：数列通项公式的相关知识考了48次，考查的难度偏中等，其考查的主要形式是通过已知递推关系求通项公式；已知前n项和与第n项的关系求通项公式；已知数列中某几项的关系求通项公式.数列前n项和的相关知识考了37次，主要就是考查学生对数列求和方法的掌握情况，是高考数学中最为常见的考试类型.数列的性质相关知识考了45次，其考查的难度处在中等水平，主要涉及了选择题、填空题，考试的内容主要包含了等差数列中项的性质、等比数列中项的性质、数列的单调性和周期性.数列的概念相关知识考了16次，数列与函数综合类问题考了9次，虽然该部分的知识出现的次数较少，但是所占的分值较多，试题的难度也相对较大.数列与不等式相结合的问题考了19次，多数是以压轴题的形式出现在高考数学试卷当中，主要涉及不等式的性质和数列的性质.数列与解析几何相关的问题考了1次，但也是以解答题的形式出现的，所占分数也是不可小觑.

二、数列问题高考题型的分类及解法

1.求数列通项公式类考题

数列的通项公式是数列知识中的核心部分，是研究数列性质的基础，因此，研究数列通项公式部分的知识，对于学生的数列学习具有不可替代的作用.求数列通项公式类考题是高考数学中较为常见的考题，主要涉及已知递推关系求通项公式；已知前n项和与第n项的关系求通项公式等相关内容.

第一，我们可以先采用最基本的观察归纳法来求解.

例1（2014年福建省的数学考题）根据下列各组数据写出数列的通项公式.

（1）3，15，35，63，…

（2）0，3，8，15，24，…

村长呃你屁股坐在哪边边，怎么老替他们说话，你应该帮我讲话。我投了你的票的，你是我的村长，我是你的村民。

（4）1，2，2，4，3，8，4，16，5，…

这类问题，学生需要仔细观察，进而分析、猜想、归纳就可以求出数列的通项公式.

分析：（1）这组数列就可以看成13，35，57，79，…，进而就可以得出an=（2n-1）（2n+1）=4n2-1.（2）在原来数列的基础上都加上1，得出新的数列1，4，9，16，25，…，进而明显地看出an=n2-1.（3）对于分数类的数列，可以将分子与分母分开来看待，之后再将它们整合到一个分数当中，这样就可以很容易的解决.（4）对于这类数列可以通过对它们的奇偶项分开来看待，就可以很轻松的发现规律：奇数项为1，2，3，4，5，…，偶数项为2，4，8，16，…，将它们汇总就可以求出它的通项公式.

第二，我们可以先采用迭代法和累加法相结合的方式来求解.

对于知道a1的值，并且an+1=f（an）的题型，我们就可以利用迭代法对它进行逐次递减“下标值”的方式求解.对于知道a1的值，并且an+1-an=f（n）的题型，就可以利用累加法来求解.

例2 （2015年浙江省高考数学题）已知数列｛an｝满足条件，并且

分析：这一题目重点考查数列的递推关系和不等式的性质问题，在已知条件中已经知道a1的值，并且an+1=f（an），因此，我们就可以利用迭代法来求an，再通过an+1=表示出，从而求出该题.

2.求数列前n项和类考题

数列求和问题是数列中常见的问题之一，对于这类问题是有一定的技巧可寻的.最简单和常见的就是利用公式法来解题，对于那些特征不是很明显的就需要通过其他的方法来完成.

第一，倒序相加法，如果在一个数列当中，开始和末尾相等距离的两个数的和是一个固定的常数，就可以利用倒序相加的方法求解，这是常用的一种方法.

第二，错位相减法，如果一个数列中满足“｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列”的条件，求｛an·bn｝前n项的和.可以在和式两侧同时乘以｛bn｝的公比，然后再作差求解.

例4 （2015年山东省高考数学题）数列｛an｝的前n项的和为Sn，并且2Sn=3n+3.

（1）求｛an｝的通项公式.

（2）如果数列｛bn｝满足条件anbn=log3an，求｛bn｝前n项的和.

解析：（1）由已知条件和关系式an=Sn-Sn-1（n≥2）即可求出结果.

（2）由第（1）问的结果可以表示出｛bn｝的通项公式，再利用错位相减法求出｛bn｝的前n项和.因为问题（1）中已经求出an，又因为anbn=log3an，那么，当n≥2时，b=n31-n］，那么3Tn=1+［1×30+2×3-1+3×3-2+…+（n-1）×32-n］.

3.等差数列与等比数列性质类考题

对于等差数列和等比数列性质的问题要注意性质的应用，“如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq”的性质只有当序号之和相等、项数相同的时候才能成立.学生不能够对性质生搬硬套，否则就会导致做题错误.

常见的性质有：如果数列｛an｝，｛bn｝是等差数列，那么 ｛kan+mbn｝ 也是等差数列；am=an+（m+n）d可以和d=相互推导（m≠n，m，n∈N+）；项数为偶数的等差数列｛an｝：S2n=n（a1+2an）=n（an+an+1）；在穷等比数列中，如果项数为奇数，那么

1.孟祖国.高中数列的有效教学研究［D］.武汉：华中师范大学，2011.

2.毛仕理.透析高考命题特点，辨清备考复习航向［N］.中学数学杂志，2014（1）.F