夯实基础，举一反三，注重一题多解——由一道数列题谈高三复习

☉江苏省 梁丰 高级中学 刘 燕

夯实基础，举一反三，注重一题多解
——由一道数列题谈高三复习

☉江苏省 梁丰 高级中学 刘 燕

一题多法可促进学生对基础知识、基本方法的牢固掌握，提高解题水平，提高运用已学知识分析问题、解决问题的能力，优化学生思维的发散性、深刻性、灵活性等品质，有利于消除懂而不会现象.优法采撷可提高学生的解题速度，优化学生的解题方法和数学思维.注重课本习题的一题多解，从不同角度研究试题，从而提高解题能力.

一、题目

在数列｛an｝中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），你能否写出它的通项公式？

分析：本题是一道形如an=pan-1+qan-2（n≥3，p，q为常数）的二阶递推数列求解其通项公式的问题，有一定难度，学生普遍感觉无从下手.笔者结合多年的教学实践，通过不同视角解决，试图从根本上解决此类问题，供大家学习参考.

二、解题视角

视角1：将an=2an-1+3an-2转化为an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3）得到数列｛an+1+an｝是以a2+a1为首项，公比为3的等比数列，得到｛an+1+an｝的通项公式，然后再进一步利用构造法进行求解即可.

解法1：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），

而a1=5，a2=2，则数列｛an+1+an｝是以a2+a1=7为首项，公比为3的等比数列，

即an+1+an=（a2+a1）·3n-1=7·3n-1，则an+1=-an+7·3n-1.

设an+1+x·3n=-（an+x·3n-1），即an+1=-an-4x·3n-1，则-4x= 7，即

解法2：同解法1求出an+1=-an+7·3n-1，将其变形为

视角2：将an=2an-1+3an-2转化为an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3）得到数列｛an+1-3an｝是以a2-3a1为首项，公比为-1的等比数列，得到｛an+1-3an｝的通项公式，再进一步利用构造法也可以将问题得以求解.

解法3：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，则数列｛an+1-3an｝是以a2-3a1= -13为首项，公比为-1的等比数列，即an+1-3an=（a2-3a1）·（-1）n-1=-13·（-1）n-1，则an+1=3an-13·（-1）n-1.

设an+1+x·（-1）n=3［an+x·（-1）n-1］，即an+1=3an+4x·（-1）n-1，则于是，数列为首项，公比为3的等比数列，余略.

解法4：同解法3求出an+1=3an-13·（-1）n-1，将其变形为利用累加法可以得到，余略.

视角3：将角度1与2结合求解，将an=2an-1+3an-2分别转化为an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3）与an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3）形式，得到数列｛an+1+an｝和｛an+1-3an｝的通项公式，然后消去两通项公式中的an+1，进而得到数列｛an｝的通项公式，从而使得问题轻松求解.

解法5：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，则数列｛an+1+an｝是以a2+a1=7为首项，公比为3的等比数列，即an+1+an=7·3n-1.①

由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，则数列｛an+1-3an｝是以a2-3a1=-13为首项，公比为-1的等比数列，即an+1-3an=-13·（-1）n-1.②

由①-②，得4an=7·3n-1+13·（-1）n-1，

视角4：对于二阶递推数列也可以利用特征根法来解决，可使问题更易于求解.

解法6：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可知其对应的特征方程为x2-2x-3=0，求得其特征根为λ1=-1和λ2=3.将等式an= 2an-1+3an-2（n≥3）可变为an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），而a1= 5，a2=2，则数列｛an+1+an｝是以a2+a1=7为首项，公比为3的等比数列，即an+1+an=7·3n-1.①

an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，则数列｛an+1-3an｝是以a2-3a1=-13为首项，公比为的等比数列，即an+1-3an=-13·（-1）n-1.②

由①-②可得4an=7·3n-1+13·（-1）n-1，

解法7：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可知其对应的特征方程为x2-2x-3=0，求得其特征根为λ1=-1和λ2=3.

设an=A·（-1）n+B·3n，由a1=5，a2=2可得a1=A·（-1）+B· 3=5，a2=A·（-1）2+B·32=2，即-A+3B=5，A+9B=2，解得A=

对于二阶递推数列an=pan-1+qan-（2n≥3，p，q为常数），可利用其特征方程x2-px-q=0求出特征根λ1和λ2，按特征根将等式变形为an-λ1an-1=λ（2an-λ1an-）2和an-λ2an-1= λ（1an-1-λ2an-）2，可构造等比数列求出an-λ1an-1和an-λ2an-1，通过解方程求解出an即可得到所求；当然也可直接利用待定系数法设出，根据已知条件求解出A，B的值便可将问题得以顺利求解（显然后者更易于同学们接受）.

图片拼接 由于通过单反相机+鱼眼镜头拍摄的照片为单独照片，需要进一步对拍摄的图像进行拼接，在图像拼接处理上采用图像拼接软件，常用的拼接软件有PTGui、Pano2VR等[4]。目前部分全景制作者采用Pano2VR软件进行图片拼接处理，此款软件支持输出HTML5/CSS3格式的全景，操作简单，只需导入单张全景图片即可一键生成全景图片，但是此款软件不能对图片进行进一步调整，如果图片色彩、曝光度等关键因素不一致，将不能生成完整全景图片。

三、几点思考

许多一线教师在高三复习的时候却忽视课本，轻视课本，而学生在高考考场上的发挥，依靠的是对教材的熟悉、对知识的理解、对方法的掌握、对思想的领会.根据笔者多年的实践，对高三复习提以下几点思考：

1.认真研读考试说明，重视新增内容的复习

高考复习应该以高考说明为依据，特别是新教材新增知识点要特别关注，比如对含有一个量词的命题的否定，对数的换底公式，五种幂函数的图像，二分法，合情推理与演绎推理，柯西不等式以及算术几何平均不等式等.同时，也要对一些降低了要求的知识点不必花费太多精力，如反函数，文科的古典概型的计算（只限列举法），文科的立体几何对空间角的计算等等，要了解文理差异，增强复习的针对性.

2.突出主干知识，强调通性通法

在复习过程中，要注意函数与导数，数列与不等式，三角函数与向量，概率与统计，立体几何与空间向量，直线与圆锥曲线等主干知识的复习与巩固，加强通性通法的理解、总结和归纳.

3.注重查漏补缺，完善知识结构

高三复习除了要保持良好的复习心态，还要注意正确的复习方法，对平时作业或试卷出现的错误，有错必改，有改必思，学生要及时发现和总结所学知识中的错误，在反思中不断提高自己水平和能力的提高，不断完善自己知识结构.

4.注重数学能力，强调数学思想

高考对学生能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，数学解题中通常蕴含丰富的思想与方法，常见思想和方法包括函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等等.

总之，通过对近几年高考试题的分析，可以看出，高考试题既注重平稳过渡，又着力内容创新，既注重基础，又突出能力，既注重通性通法，又提倡创新意识，既注重新增内容，又注意文理差异，所以同学们在平时复习过程中，要认真研读考试说明，落实新课程理念，跳出题海，回归课本，注重基础，加强对数学基本概念、基本思想和方法的学习，尤其是注重培养自己的数学应用意识、抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力和运算能力，这样才能在高考中取得佳绩！