例谈高考中对正、余弦定理的考查

☉浙江省玉环县玉城中学蒋克于 张夏飞

例谈高考中对正、余弦定理的考查

☉浙江省玉环县玉城中学蒋克于 张夏飞

正、余弦定理是揭示三角形边角关系的两个重要定理，它将三角形的边角巧妙地结合在一起，主要作用是将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角的关系，使问题得以解决；在解题中有着广泛的应用，是高考中的常考知识点，下面介绍正、余弦定理在解题中的一些应用，供参考.

一、判断三角形的形状

正、余弦定理是三角形边、角的混合关系，用定理能将已知条件转化为纯边（或纯角）的关系，从而判断三角形的形状.

即a2sinBcosA=b2sinAcosB.

所以sinAsinB（sinAcosA-sinBcosB）=0，

又A，B∈（0，π），所以sinA≠0，sinB≠0.

所以sin2A-sin2B=0.

因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.

即a2sinBcosA=b2sinAcosB.

即（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，

所以a=b或a2+b2=c2.

因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.

判断三角形形状，通常用两种常用方法：1.统一转化为纯角，再判断（如解法1）；2.统一转化为纯边，再判断（如解法2）.

二、解斜三角形中的有关问题

解三角形是指已知两边一角（或二角一边或三边），求其他三个元素问题的过程，进而求出三角形的三线（高线、角平分线、中线）及周长等基本问题.

由正弦定理，求出b及c，或整体求出b+c，则周长为3+b+c而得到结果；由于本题是选择题，也可用特殊化的办法求解，取△ABC为直角三角形，则周长应为，故排除A、B、C.而选D.

解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，同时合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系等，解题时应注意用哪一个定理更方便、简捷.

三、解决与三角形面积有关的问题

例3△ABC的内角的对边分别为a，b，c，已知a= bcosC+csinB.

（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值.

解：（1）由已知及正弦定理，得sinA=sinBcosC+sinC· sinB.①

又sinA=π-（B+C），

故sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinBsinC.②

由①②及C∈（0，π），得sinB=cosB.

（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用.（2）条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理.（3）在求三角形的面积时，通过正、余弦定理求一个角，两边乘积，是一种常见思路.

四、在解决实际问题中的运用

正、余弦定理在实际生活中有着极其广泛的应用，对经过抽象、概括最终转化为三角形中的边、角问题的实际应用题的求解十分有效，下面举两例，以飨读者.

1.“海上营救”问题

图1

例4如图1，某舰艇在A处，测得遇险渔船在北偏东45°距离10海里的C处，此时得知该渔船正沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度航行，舰艇时速为21海里.问舰艇朝什么方向前进可以最快营救渔船？所需时间是多少？（方向精确到1°）

解：设所需时间为t，则AB=21t，CB=9t，∠ACB=120°.

由余弦定理得（21t）2=102+（9t）2-2×10×9tcos120°.解得

2.“台风预报”问题

例5在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，台风中心位于城市O（如图2）的东偏南向300 km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

解：设t小时该城市开始受到台风的侵袭，

此时OQ≤10t+60.

由于PO=300，PQ=20t及cos∠OPQ=cos（θ-45°）=cosθ·

故12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

五、在求解二面角时的运用

在立体几何的问题中，涉及一些边长的平方和关系时，常常会联想到余弦定理.

例6如图3，在四面体ABCD中，若AB2+CD2=BD2+ AC2，试求AD与BC所成的角的大小.

分析：将AB2+CD2=BD2+AC2通过移向得CD2-BD2=AC2-AB2，可转化为在两个三角形中进行处理.不妨将等式两边都加BC2，得CD2+ BC2-BD2=AC2+BC2-AB2，与余弦定理有点相似，所以可以试着用余弦定理处理.

图3

解：由题设得CD2+BC2-BD2=AC2+BC2-AB2.用余弦定理上式即为2AC·BCcos∠ACB=2CD·BCcos∠BCD.

所以ACcos∠ACB=CDcos∠BCD.过A作AE⊥BC于E，过D作DE′⊥BC于E′，所以CE=CE′，E与E′重合，从而AE⊥BC，DE⊥BC.故AD⊥BC，即AD与BC成90°角.

六、在求解方程组时的运用

有些方程组的结构特点与余弦定理的结构相似，因此可以想到构造图形，运用余弦定理解决.

图4

图5

七、在三角不等式中的应用

当要证明的不等式中含有余弦或具有一定的余弦定理的结构时，可以考虑是否使用余弦定理.

证明：因为2R（abcos C+bccos A+cacos B）=abc·

又由余弦定理，得R（a2+b2+c2）=abc·

总之，解题离不开方法的迁移，思路的联想和知识的交融，只要我们在学习时，注意各种公式，定理的顺用、逆用和变形应用，变换角度，纵横联想以及多考虑知识之间的联系，就可以达到化抽象为具体，化繁冗为简单，活学活用的效果.