例谈不等式恒成立问题中参数问题的求解策略——一道课本习题的变式探究

江苏省张家港市崇真中学 陈 斌

例谈不等式恒成立问题中参数问题的求解策略
——一道课本习题的变式探究

江苏省张家港市崇真中学 陈 斌

笔者在平时的教学中，发现学生在不等式恒成立的条件下求参数范围竟然不知所措.笔者在解题实践中，总结解题的多种方法并进行对比分析，引导学生充分挖掘题目的特点，往往能找到解题的突破口.因此笔者结合多年的教学实践，谈谈不等式恒成立问题中参数问题的求法.

策略一直接转化为求函数最值

有的求参数问题，直接转化为求函数最值.

例1已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R），若不等式f（x）≤0恒成立，确定实数k的取值范围.

学生基本知道要证明不等式恒成立，可以转化为求函数最值，转而求函数的导数的思路.但忽略了函数的定义域，虽说结果碰巧正确，但解答过程错误.

转化为求函数最值：f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）=

当k≤0时，因为x≥1，所以-kx+k+1＞0.所以f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立.

所以f（x）在（1，+∞）单调递增.又x→+∞时，f（x）→+∞.

所以f（x）≤0不恒成立.

综上所述，满足题意的实数k的取值范围为［1，+∞）.

策略二分离参数利用函数的最值

对于一些比较容易分离参数的函数，常常分离出变量，再转化为常见函数求解.

1.分离参数——利用极限，先猜后证

解：（1）略.

当x=0时，上式恒成立.

故h（x）在［0，1］上单调递减，h（x）≤h（0）=0，

从而知2≤-a，即a≤-2.

2.分离参数——利用特值，先猜后证

当x=0时，上式恒成立.

不妨取x=1，则有-a≥6cos1-2.5≈0.7∈（0，2）.

由此可猜想，-a的最小值为2.

（以下策略同策略1，略.）

策略三不分离参数，利用二次求导求解

若分离后无法求导或解决方法太烦琐，则不分离参数，利用二次求导解决.

例3已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（2）当m≤2时，证明f（x）＞0.

解：（2）由f′（x）=ex-

依g（x）=（x+m）ex-1在［-m，+∞）单调递增，且g（-m）=-1，

知存在x0∈（-m，+∞），使g（x0）=0，即（x0+m）ex0 -1=0.

当x∈（-m，x0）时，g（x）＜0，此时，f′（x）＜0，f（x）单调递减.

当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，此时，f′（x）＞0，f（x）单调递增.

从而，［f（x）］min=f（x0）=ex0 -ln（m+x0）（由（x0+m）ex0

故当m≤2时，f（x）＞0.

策略四通过数形结合求解参数范围

常常可以将题目中的函数转化为两个常见函数，通过考虑两个函数的图像来确定参数的范围，从而可以取得避繁就简的效果.仍以例3中题（2）为例：

（2）当m≤2时，要证明f（x）＞0，只需证ln（x+m）＜ex.

由于函数g（x）=ex是下凸的，h（x）=ln（x+m）是上凸的.

设g（x）=ex与h（x）=ln（x+ m）切于点P（x0，y0），

则切线斜率k=ex0且

于是由图像可知，要使ln（x+m）＜ex，

只需h（x0）=ln（x0+m）小于切点的纵坐标.

亦即只需ln（x0+m）＜ln

（因x0+m=-中x0+m＞0，知x0＜0.若x0=-1，则m=2.此时，=ln（x0+m）不成立，故x0≠-1）

从而只需m≤2.故当m≤2时，f（x）＞0.

把不等式分离成两个函数，再由函数图像关系及参数几何意义得出参数范围.分离出的两个函数必须一个是已知的，较为简单的函数，否则图像得不到.另一个带参数的函数也必须是已知的简单函数，参数的几何意义明显才比较容易由数形结合得出参数范围.而且作为解答题，数形结合可能比较难以论述清楚.