例析证明数列不等式的几种方法

☉湖南省长沙市雅礼中学 朱晨曦

例析证明数列不等式的几种方法

☉湖南省长沙市雅礼中学 朱晨曦

数列是高中数学的主干内容，是初等数学与高等数学的衔接点之一，蕴含着丰富的数学思想和方法.高考数列方面的问题着重考查数列的基本方法，其中涉及到方程、不等式、函数、转化与化归等思想的应用.数列不等式顾名思义是数列与不等式的结合，数列不等式既能很好地考查学生对数列和不等式这两块知识的掌握程度，又能很好地考查学生的逻辑思维能力，考查学生的双基（基础知识和基本技能）.笔者通过平时的学习实践谈谈一些数列不等式证明的通性通法，以飨读者.

一、构造函数法证明数列不等式

当要证明的式子和某些函数有关时，可以构造函数证明.数列是定义域为正整数的特殊函数.

例1已知数列｛an｝满足（其中e为自然对数的底数）.

（1）求数列｛an｝的通项an；

（2）设Sn=a1+a2+…+an，Tn=a1·a2·a3·…·an，求证：Sn≤

构造函数f（x）=ex-1-x（x≥1），则f′（x）=ex-1-1≥0，故f（x）在［1，+∞）上是增函数.因为n≥1，所以f（n）≥f（1）= 0，移项得en-1≥n，得证！

记Cn=e-n2为数列｛cn｝的前n项之积，因此易得cn=e-（2n-1）

（n∈N*）.

二、利用放缩法证明

放缩法是证明不等式的一种常用方法，而在证明某些“数列和式的不等式”中，有两种较常用的思路：（1）放缩成裂项求和的形式，化简后再放缩；（2）放缩成等比数列求和的形式，化简后再放缩.

1.放缩成裂项求和的形式，化简后再放缩

如果数列的通项可以拆成两项之差，证明和式不等式时，可以考虑先裂项求和再放缩；如果通项不可以直接拆项，则可尝试先放缩通项，使其可裂项求和，最后再放缩.放缩过程需要注意“度”的调节，逐步朝着问题的方向靠拢.

例2设各项均为正数的数列｛a｝n的前n项和为Sn，且Sn满足-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N*.

（1）求a1的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

解：（1）（2）此略.

（3）证明：由（2）可知，an=2n，所以

当n∈N*时，由于（4n2+2n）-（3n2+3n）=n（n-1）≥0，故

2.放缩成等比数列求和的形式，化简后再放缩

如果某个数列不能直接求和，但其通项可以放缩成一个等比数列的通项，证明和式不等式时，可先放缩通项，再求和，最后再放缩.在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，并结合不等式的结构形式，合理地选择放大或缩小.

例3已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=3an+1.

证明：（1）略.

当n∈N*时，由于3n-1≥3n-3n-1=2·3n-1，

三、利用数列的单调性证明

单调性是数列的一种重要性质，在证明数列不等式时，有时通过判断原数列的单调性即可得证；有时则需通过构造新数列，利用新数列的单调性论证原不等式，运用这种方法解题关键在于要结合题干的背景和问题构造一个恰当的新数列，这样更有助于分析问题和解决问题.而关于数列的单调性，常常可通过作差法或作商法加以判断.

例4已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）设数列｛bn｝满足an（2bn -1）=1，并记Tn为｛bn｝的前n项和，求证：3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*.

解：（1）略.

（2）证明：由（1）得an=3n-1，根据an（2bn -1）=1可解得

而（3n+3）3-（3n+5）（3n+2）2=9n+7＞0，并且f（n）＞0，

故f（n+1）＞f（n），即｛f（n）｝是单调递增数列.因此，

从而可得3Tn+1-log2（an+3）=log2f（n）＞0，即3Tn+1＞log2（an+3）.

本题从要证明的问题出发，构造出一个新的数列，并且可利用作商法判断新数列的单调性，进而将该问题转化为不等式恒成立问题处理.

四、利用数学归纳法证明

数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数n有关的数学问题.利用数学归纳法证明数列不等式时，在P（k）⇒P（k+1）的递推中，要分析P（k+1）与P（k）之间的关系，明确不等式变形的最终表达式，在变形过程中，有时需要结合函数相关性质（如单调性等）、不等式相关背景（如基本不等式、柯西不等式等），以及不等式其他证明方法（如分析法、放缩法等）深入分析，使其沿着问题的方向靠拢.

例5已知数列｛an｝的前n项和Sn，满足Sn=2an+（-1）n（n≥1）.

（1）写出数列｛an｝的通项公式；

当m=5时，易证不等式成立.

假设当m=k（k≥5）时，不等式成立，

数学归纳法证明的思路清晰，从中挖掘出与待证问题相关的函数不等式，为数学归纳法的巧妙运用埋下伏笔.对数列不等式左边含有n项而右边只有一个常数时，可以构造函数使得左边成为单调递减的数列然后利用单调性加以证明或者用数学归纳法加以证明，这是对这种数列不等式证明的通性通法.

五、利用基本不等式证明

关于基本不等式的运用，需要满足三个条件：①一正，即各项都为正数；②二定，即和或积为定值；③三相等，即等号能取到.用数学符号记为（a＞0，b＞ 0），当且仅当a=b时，等号成立；而当a≠b时，则有.在高考数列不等式证明题中，有时运用基本不等式解答可以实现快速解题的效果.

例6等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图像上.

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记bn=2（log2an+1）（n∈N*），证明：对任意的n∈N*，不等式成立.

解：（1）过程略，r=-1.

（2）证明：由（1）可得an=2n-1，所以bn=2（log2an+1）=2n.

因此，对任意的n∈N*，不等式·…·成立.

以上主要分析证明数列不等式的几种有效方法，每种方法在使用中都有各自的特点.在证明数列不等式时，教师应引导学生要仔细观察不等式的结构形式和数列的通项特点，明确题干信息的背景知识，对比相关证明方法的运用规律，把握数列、不等式的重要性质，注重知识的融会贯通和方法的相互联系，从中选用恰当的方法灵活解题.