一类无理不等式的几何证明

广东省广州市番禺中学(511400)杨华

一类无理不等式的几何证明

广东省广州市番禺中学(511400)杨华

刊登在《数学通报》2011年12期安振平老师的题为《一类无理不等式深入探究》([1])一文中,给出了下列一类无理不等式:

问题1设a,b,c是正实数,求证:

问题2设a,b,c是正实数,求证:

问题3设a,b,c是正实数,求证:

考虑到这三个不等式的统一的情景,把它深化为:

深化1设a,b,c是正实数,−2＜λ＜2,求证:

文[1]用代数法给出了证明,本文给出它的几何证明.

证明因为a,b,c是正实数,构造腰长分别为a,b,c,a顶角是θ的四个等腰三角形,并使得它们的底边在同一条直线上,如图1.在△ABM中,由余弦定理可知底边

图1

同理

所以

在△BMN中,由余弦定理可知

同理

又因为AM//DQ且AM=DQ,则四边形ADQM是平行四边形,所以AD=MQ.根据两点之间直线段最短,因此MN+NP+PQ≥MQ.则

令λ=−2cosθ,因为θ∈(0,π),则−2＜λ＜2,所以有

当且仅当a=b=c时,等号成立.

根据上面的证明可以看出:深化1中的参数λ的取值范围为什么约定−2＜λ＜2.在不等式(5)中,取θ=90°、60°、120°分别得到不等式(1)、(2)、(3).

深化2设a,b,c是正实数,−2＜λ＜2,求证:

来完成的,这个不等式可以构造几何图形证明.

证明因为a,b是正实数,构造腰长分别为a,b顶角是θ的两个等腰三角形,并使得它们的底边在同一条直线上,如图2.过点M,N分别作底边AB,BC上的垂线,垂足为D,E,则DE分别是底边AB,BC中点.

文[1]中深化1、深化2的证明都是利用不等式

图2

在△ABM中,由余弦定理可知底边

同理

则

文[1]中的深化3和证明深化3所用到的恒等式都存在错误,应分别更改为:

深化3设a,b,c是正实数,−a＜λ＜2,求证:

这个恒等式也可以构造几何图形证明.

证明因为a,b是正实数,构造腰长分别为a,b顶角是θ的两个等腰三角形,并使得它们的底边在同一条直线上,如图3.过点M,N分别作底边AB,BC上的垂线,垂足为D,E,则D,E分别是底边AB,BC中点.过M点作MF//DE交NE于F.

图3

在△ADM中,

所以,不等式(7)成立.文[1]中的问题6和推论1是错误的,在深化3中分别取λ=−1,λ=1就会得到问题6和推论1.

问题6设a,b,c是正实数,求证:

推论1设a,b,c是正实数,求证:

[1]安振平.一类无理不等式的探入探究[J].数学通报,2011(12),55-56.