化繁为简浅谈求解抽象函数问题

2016-12-12 07:14江西省丰城中学
学苑教育 2016年9期
关键词:丰城恒等式奇函数

江西省丰城中学 张 璐

化繁为简浅谈求解抽象函数问题

江西省丰城中学张璐

抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式,只给出了其他一些条件(如:定义域、经过的特殊的点、解析递推式、部分图像特征等),它是高中数学函数部分的难点,也是与大学数学的一个衔接点.

模型化思考抽象函数数学

一、以线性函数为模型的抽象函数

体现为对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-b①,一次函数y=ax+b便是满足函数恒等式①的最常见的模型.

例1.已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

⑴求证:函数f(x)是奇函数;

⑵如果x>0,f(x)<0,判断f(x)的单调性.

分析:一次函数满足题设中抽象函数的条件,这次模型化思考,无疑为我们指明了努力的方向.

⑴证明:函数f(x)定义域为R,

∵f(x+y)=f(x)+f(y),

∴f(0)=f(0)+f(0),从而f(0)=0,

∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,

即f(-x)=-f(x),

∴f(x)为奇函数.

⑵解:设x1,x2∈R,且x1

f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),

∵x10,∴f(x2-x1)<0,

∴f(x2)

二、以二次函数为模型的抽象函数

二次函数在形上的对称性所产生的数量关系的恒等式:f(a-x)=f(a+x)②,是这类命题的基础.而②式也恰好反映了抽象函数关于x=a对称.

例2. 已知函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,且 f(1-x)=f(3+x),试解关于x的不等式:f(2x-1)

分析:恒等式②表明了函数f(x)的图像关于直线x=2对称,此时,不必借助于满足条件的一个具体函数y=(x-2)2,也能发现f(x)在(-∞,2]上为增函数.

解:∵ f(1-x)=f(3+x),

∴f(2+x)=f(2-x),

即y=f(x)的图像关于直线x=2对称,

∵函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,

∴函数f(x)在(-∞,2]上为增函数.

平方得3x2-14x+8>0,

三、以指数函数为模型的抽象函数

体现为对x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+ y)③,由指数函数的性质知y=ax(a>0,a≠1)是满足恒等式③的重要函数之一.

例3.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,对任意x,y∈R,都有f(x)f(y) =f(x+y)成立,若,an=f(n)(n为正整数),则求数列{an}的前n项和Sn的范围.

解:∵x,y∈R,都有(fx)(fy)=(fx+y)且(fx)恒不为零,可知(fx)=ax,

∴数列{an}是等比数列

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