浅谈最值问题的解决策略

江苏省常州市武进区星辰实验学校　王　金

浅谈最值问题的解决策略

江苏省常州市武进区星辰实验学校王金

最值问题中考热点解决策略

几何中的最值问题近年广泛出现于中考试卷中，逐步变为热点，这是由于这类问题具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法，对学生数学解题能力具有很强的挑战性，而能够胜任这类型问题的话，对于高中的数学学习也有非常大的帮助.

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：

1.特殊位置与极端位置法.

2.几何定理（公理）法.

3.数形结合法.

例1． 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、B，点E在以O为圆心，2为半径的圆上运动.

（1）连结OE、BE，试求OE+BE的最小值.

思路点拨：根据三角形两边之各大于第三边可知，当点E运动到OB上时，OE+BE的最小值为OB=4（定值）

图1

图2

图3　

图4

（2）连结AE，在点E运动的过程中，试求△ABE面积的最大值和最小值.

思路点拨：由于AB为定值，所以ABE面积的最大值和最小值即为点E到AB距离的最大值和最小值.如图2过点E做AB的垂线EF，连接OE、OF，在OEF中，由（1）题思路可知，当点E与在OF上时，EF最小值为点O到AB距离（定值）——半径（定值）；当点E在OF的反向延长线上时，EF最大值为点O到AB距离（定值）+半径（定值）；

（3）如图3，过E作OE的垂线，若OE垂线与直线AB有交点G，试求线段EG的最小值.

思路点拨：连接OG，因为OE是半径（定值），要求EG最小值，只要求出OG的最小值，根据垂线段最短，过点O作AB的垂线段即知OG的最小值.

（4）在平面内找一点D，使A、B、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求DE的最小值.

思路点拨：分类：1.AB为边；2.AB为对角线.当AB为边时，则DE=AB=定值.当AB为对角线时，则AB与DE互相平分，首先找到AB中点M，如图4，连接EM，则ED=2EM，当EM最小时，ED有最小值.根据垂线段最短，过定点M做AB垂线与圆交于点E，则EB长度的最小值为OM（定值）——半径（定值）.

注：几何中的最值问题往往转化为定值问题，解决问题时不妨多联想特殊位置及特殊的位置关系.

例2.如图5，E是正方形ABCD的边AD上的动点，连接BE，作AH⊥BE于点H.若正方形的边长为2，试求线段DH长度的最小值.

图5

思路点拨：结合圆的相关知识，不难想到点H运动在以AB为直径的圆上，取AB中点为圆心（设为M），根据两点之间线段最短可知，点H在DM上时DH最小，等于DM（定值）——半径（定值）.

例3.如图6，已知在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为A（3，0）、C（0，4），点B的坐标为（-7，0），点P是直线AC上的一动点，以点P为圆心、2为半径画圆，过点B作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F． 试求四边形BEPF面积的最小值.

思路点拨：易证 PEB≌PFB，同时PFB中PF为半径（定值），且PF⊥BF，当BF最小时PFB的面积就最小，根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP最短（定值），即可求出结果.

图6

例4.如图7，平面直角坐标系中，A（-4，0），B（0，4），C（2，0），点D是线段BC上的动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF、AD，试求线段EF的最小值.

图7

思路点拨：根据圆的知识可知A、E、D、F四点共圆，其中AD是直径，设圆心为M，连接EM、FM，则EM、FM为圆的半径，由∠A=450，可知EM⊥FM，则EF与两条圆的半径构成直角三角形.由于点D是动点，故当AD⊥BC时，AD最短（定值），即直径为最小值.

数学问题往往不是孤立的，相互间存在着各种各样的联系，它们可以相互渗透，相互转化.如果能善于利用它们之间的联系，应用转化的思想方法，解题的思路就会变得开阔，解题方法也将新颖巧妙.在解决最值问题时，要使转化能顺利地完成，必须掌握好基础知识、基本技能.除此之外，还要善于发现和利用问题的特征，应用知识间的联系，具有一定的求异思维能力，并注意排除习惯性思维的干扰，注重平时练习中方法的积累.