数学“入题”三维度：直接、间接、转换——以2016年浙江省数学高考理科第19题为例*

●李美君

(宁海中学 浙江宁海 315600)



数学“入题”三维度：直接、间接、转换
——以2016年浙江省数学高考理科第19题为例*

●李美君

(宁海中学 浙江宁海 315600)

入题作为解题的源头，统领解题的整个过程，是培养学生提高分析问题、解决问题能力的重要支撑点．文章通过直接法、间接法和转换法的研究，明确数学“入题”的三维度．

入题;直接;间接;转换

高考中，不少考生对常规问题的解答可谓得心应手，让人赞赏不已，但面对新颖的试题，则判若两人：或游离于问题之外，看不清问题的本质，抓不住问题的关键，急促应对；或干脆到此戛然而止，放弃作答．最主要的原因是常规题入题容易，而新颖题难以进入，难在入题．这里“入题”指的是能根据问题提供的条件、信息、情境、模型等，直接进行解答或通过分析、排斥、探索、推理、转换等途径，由表及里，从而达到解决问题的目的．那么如何才能入题呢？笔者认为最常见的方法是：直接法、间接法和转换法．直接法指的是根据题目的条件直接进行解答；间接法就是通过排除反面情况从而得到问题解答；转换法就是把命题进行等效转换，使陌生问题熟悉化，复杂问题简单化．

笔者结合2016年浙江省数学高考理科第19题，谈谈对数学“入题”三纬度的粗浅看法，仅供参考．

图1

1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示)；

2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

试题以椭圆为载体，主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆与椭圆的公共点等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．设计新颖，构思巧妙，耐人寻味，令人赏心悦目，体现了“能力立意”的指导思想，凸显了数学试题的选拔功能.

试题由常见的圆与椭圆问题巧妙变化，推陈出新，对中学数学教学如何“摆脱题海”“关注数学本质”有着极好的示范效应，全面考查了以思维能力为核心的多种数学能力，同时兼顾了对数学知识、思想方法和数学精神、数学本质的深入考查，有利于各层次学生数学才华的施展，并对当前高中数学的教和学有着很好的导向作用.

从解法来看，第1)小题的解法常规；第2)小题的直接法、间接法、转换法也是基本的．但为什么许多考生直呼被难倒了呢？最主要的原因还是无法快速入题．

1 直接入题

1.1 第1)小题的解法

第1)小题试题呈现常态、背景熟悉、表述无新，直接解答就行．

(1+a2k2)x2+2a2kx=0,

故

图2

解法2 如图2，设椭圆上任一点P(acosθ,sinθ)，则

(1)

由式(1)知

sin2θ=(kacosθ+1)2=1-cos2θ，

得

k2a2cos2θ+2kacosθ+1=1-cos2θ,

即

-(a2k2+1)cos2θ=2kacosθ.

由题意cosθ≠0，于是

评析 直接法是解答数学题最基本的方法，从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或解决所求的问题．求线段长不管用弦长公式还是两点间距离公式都是常规方法，对常规的或者熟知的问题直接入题即可，因此第1)小题绝大多数考生都可以轻松解答．

1.2 第2)小题的解法

当r=2时，圆方程为

x2+(y-1)2=4,

(1-a2)y2-2y+a2-3=0.

(2)

则

Δ=4-4(1-a2)(1+a2-r2).

令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，则

所以f(y)=0的2个根介于-1,1之间，即圆与椭圆有4个交点．

所以f(y)=0在区间[-1,1]上无解，即圆与椭圆无交点．

(3)

若存在不合题意的4个交点情况，则方程(3)在(1-r,1+r)∩(-1,1)=(-1,1)上有2个不同的解．

评析 虽然此题可用直接法解题，但分类讨论繁琐，过程复杂，对分类讨论能力、解题计算能力要求极高，因此多数考生很难得到满分．这时如果采用其他方法解题，往往可以事半功倍．

2 间接入题

(4)

则方程(4)在(1-r,1+r)∩(-1,1)上有2个不同的解．令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，则

①若1-r>-1,即r<2，此时

因此f(y)=0在(1-r,1)上有且只有1个解，不合要求，舍去．

②若1-r=-1，即r=2，此时y=-1为方程根，故以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个交点，不合要求，舍去．

由Δ>0，得

a4-a2r2+r2>0，

即

在(4,+∞)上单调递减，得a2<2，与a2>2矛盾，舍去．

综上可知，当a2>2时，以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆存在4个交点．

解法4 假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有2个不同的点P,Q，满足|AP|=|AQ|.

设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2，且k1>0,k2>0,k1≠k2.由第1)小题知

故

由k1≠k2,k1>0,k2>0，得

(5)

因为式(5)关于k1,k2有解的充要条件是

1+a2(a2-2)>1,

所以

评析 间接法就是问题的正面情况较多或者正面着手很困难，而反面情况不多或者较易入题时，就正难则反，用间接法进入,可使问题容易得到解决，也使得解题思路明朗，有利于培养学生的思维能力、解题能力和语言表达能力．

3 转换入题

解法5 假设圆与椭圆的公共点有4个交点，则|AP|=|AQ|，即在椭圆的单侧存在一个等腰三角形．

设P(x1,y1)，Q(x2,y2),PQ的中点M(x0,y0),则

从而(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0,

于是

由x0≠0，得

(6)

即

a2>2,

亦即

解法6 设P为椭圆上任意一点，由第1)小题知

其中t∈(1,+∞).

解法7 取椭圆上点P(x,y)，则

x2+a2y2=a2，

从而 |AP|2=x2+(y-1)2=(1-a2)y2-2y+a2+1=

即

评析 在数学中，有些问题直接求解较难，若进行巧妙地等效转换，再去求解，就会使问题变得简单．本题圆与椭圆的交点问题可以转换为椭圆单侧是否存在等腰三角形或弦长在椭圆单侧具有单调性问题．转换法是一种重要的解题方法，通过转换，可以使复杂问题简单化，一般问题特殊化，抽象问题具体化，从而达到化繁为简、化难为易的目的．

入题作为解题之始，思维之初，对解题至关重要．快速入题，解题就成功了大半．直接法是最基本的方法，思维自然，但有时过程复杂、运算繁琐，容易出错．正面情况较多或正面入手困难时，用间接法往往有意想不到的效果．转换法对于思维要求高，有时难以进行等效转换，但若转换成功，往往能柳暗花明又一村．因此，加强对入题的教学，加深对入题方法的探索、思考，已成为构建如何有效解题的必由之路．

[1] 李美君．2015年浙江省高考理科卷第18题解析[J]．数学通讯，2015(9)：58-60．

�2016-06-23；

2016-07-28

李美君(1976-)，女，浙江宁海人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)11-33-05