抽象数学中的形象教学思路

张法宽

[摘 要] 抽象的高中数学内容会形成高比例的学困生，在抽象数学中坚持形象教学的思路，可以有效解决学困生问题，可以从面上提升学生有效构建数学知识的有效性. 形象化教学思路的基本过程，就是提供形象化的事例，然后让学生进行数学抽象，并在变式训练或问题解决中加以检验与评估.

[关键词] 高中数学；抽象数学；形象教学思路；数学抽象

高中数学以抽象著称，尤其是我国的高中数学教学，其难度世界闻名. 笔者以为，这里所说的“难”，就是指其抽象性. 数学本身就是抽象的，作为生活对象的高度抽象的产物，高中数学所研究的数与形，基本上都是纯粹的符号或者图形，其与生活的联系是很远的，尤其是在应试的教学环境中，学生在数学课堂上思维所加工的对象，几乎全部是抽象的对象. 这使得高中数学难学成为一个公认的说法. 但如果换一个角度，即从教师教学的角度来看，尤其是从构建有效教学的要求来看，高中数学教学似乎又回避不了形象的教学思路. 这样的判断实际上是将落脚点落在学生的身上，即从学生构建数学知识的角度来看，一般都需要经历一个从形象思维到抽象思维的过程，即使数学学习的结果是抽象的，但数学学习的过程却不能只走抽象之路. 建立这样的认识，显然有助于化解学生在高中数学学习中的难度.

2016年第一期的《教育研究与评论》杂志刊登了秦霞老师在2015年江苏省高中数学青年老师优课观摩与评选活动中所上的《导数在研究函数中的应用——单调性》一课基础上形成的《生活中抽象，合作中探究，数学中回归》一文（以下简称“秦文”），以及专家的评析，笔者读后深受启发，感觉其与笔者所强调的高中数学教学要走形象教学的思路颇有一致的地方. 也是在该文的启发之下，笔者本文得以顺利形成.

高中数学教学中的形象化思路简析

形象化的教学思路，顾名思义，就是将抽象的数学学习过程形象化. 要注意的是，这里强调的是过程而不是结果，因为数学学习的最终结果必然是抽象的，否则就脱离了数学的基本特征，这不利于高中阶段的学生建立对数学的准确认识. 但是学习过程却不必是抽象的，无数事实证明，纯粹的抽象教学思路（即纯粹的数学推理与计算）是不利于学生有效地建构数学知识的，因此对于数学学习过程而言，必要的形象是允许的.

形象化教学思路是对传统数学教学思路的一种回归，也是数学发展史的真实写照. 真正的数学知识的生成过程并不纯粹是抽象的结果，很多数学家正是在对形象事物的思考中获得数学认知的，从毕达哥拉斯研究朋友家的地砖得出勾股定理开始，从牛顿、莱布尼兹等基于实际需要而发明“流数术”（微积分）等，都离不开对具体的事物的研究，然后才是一个数学化的过程. 相比较而言，今天的高中数学似乎从头到尾都是抽象的数学符号，学生一进入数学课堂，大脑里就只有抽象的数学符号与图形，这显然难以让学生进行有效的数学加工，毕竟高中学生虽然抽象思维能力有所发展，但形象思维依然是他们的思维基础. 更何况有教育心理学的研究结果表明，当学生在抽象思维中遇到无法解决的困难时，他们还是会试图通过形象思维去解决问题. 如果学生在数学课堂上没有发挥形象思维的机会，那就意味着失去了自我化解困难的机会，这对于学困生的形成而言，简直就是一个天大诱因.

秦霞老师在上“导数在研究函数中的应用——单调性”这一课时，就很好地借助了形象化的教学思路. 正如其在教学思考中所指出的那样，“借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系，经历由形到数的过程”，这样的论述背后的形象化教学思路是明晰的. 在这里，几何直观不是简单地作为一个普通的概念运用，而是精心设计了“形”之后再引导学生去认识“数”，这是真正的从形象到抽象的教学过程. 也如同钟志华老师在评析中首先引用的数学家波利亚的话——“抽象的数学道理虽然重要，便要用一切办法使它们看得见、摸得着”那样，导数在研究函数中的应用（单调性）这一内容在实践的过程中，有着真正的看得见、摸得着的形象化过程.

由此可见，在成功的高中数学课堂上，一般都离不开形象化教学思路的影子. 形象化教学思路应当成为高中数学教师在课堂上，尤其是在遇到教学难点时的自然选择.

高中数学教学形象化思路的实现途径

那么，在高中数学教学中，如何实现教学的形象化呢？笔者一方面总结自身的教学实践，另一方面总结他人的研究成果. 经过梳理之后，发现有这样的几个切实有效的实现途径.

1. 途径一：生活实例的引入

高中数学与生活的关系似乎没有那么密切，因此在高中数学教学中似乎难以寻找到可以直接使用的生活情境. 很多人都有这样的认识，笔者以为形成这一认识的背后反映了数学教师在观察教学内容的时候，缺乏一种生活视角. 在秦文中，其在构建某一曲线上的切线时，巧妙地基于生活实例构建了一个数学思维的加工情境：一辆夜间行驶在弧形山坡上的汽车开着大灯. 于是，学生自然就认识到：弧形山坡相当于一段曲线，而大灯则相当于汽车所在的那一点的切线. 这样的情境在学生的生活中并不罕见，而基于这一情境去构建切线与曲线的关系，就显得十分自然. 显然，这样的生活实例在此就起到了迅速引导学生入境的作用，是形象化教学思路的重要体现.

2. 途径二：想象图景的构建

生活实例更多地带有生活的意味，因此生活实例是形象化教学思路的重要呈现方式，但与此同时要认识到的是，生活实例实际上是需要适当加工的. 在上面的实例中，实际上教师在呈现图像的时候，已经进行了初步的加工，只是这样的加工不影响生活实例的本质特征. 还有一类加工，则有“来源于生活而高于生活”的味道，但其也可以作为形象化教学思路的途径. 譬如在秦霞老师进一步进行探究的时候，就把刚才的汽车行驶在山坡上的生活实例，借助于几何画板抽象成了一根切线在一个圆弧上的图形. 这个图像此时呈现给学生可谓是恰到好处，一方面是对刚才生活实例的数学化处理，另一方面又不是纯粹的数学意义上的图像. 因此，这样的想象图景的构建，在生活与数学之间搭建了一个很好的认知桥梁，使得学生的思维能够由生活向数学有效转化.

3. 途径三：抽象知识的图表化处理

形象化教学思路的最为常用的途径，是将抽象的数学知识及其之间的关系，进行形象化的处理. 笔者在秦文中看到其在基于汽车行驶在弧形山坡上的例子梳理函数y=f（x）的单调性的时候，利用一张简图描述了从山坡—曲线—函数，从灯光向上—切线斜率k>0—f ′（x）>0的关系，这样的图像看起来简洁，但又很好地梳理出了函数y=f（x）及其导数f ′（x）的单调关系，从而很好地阐释了导数在研究函数中的作用.

当然，在高中数学教学中，形象化教学思路的实现途径远不止这三个，但归结起来需要强调的是：形象化的思路一般都是从抽象的数学知识去进行逆向思维的，思考数学知识在实际生活中的存在场合或者应用场合，往往是形象化教学思路的基础. 当然，学习一些数学史的知识，以从数学发展的历史中寻找到一些有益素材，也是形象化教学思路形成的基本途径.

高中数学教学形象化思路的判断标准

需要强调的是，高中数学教学中形象化教学思路是不是真的起到了形象的作用，这个判断标准不在于教师的主观感受，而应当以学生是不是能够有效地利用形象思维进行数学知识构建为基础，这也是“以生为本”的教学理念在这一教学细节中的真正落实.

如同秦文中所说的那样，“导数与函数单调性这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知. 利用汽车上下坡时灯光的指向的联系，可以让学生进行有效的抽象……”. 由于学生进行了有效的抽象，即将道路抽象成曲线，将灯光抽象成切线，因此这样的形象化教学思路就是有效的. 反之，如果在实际教学中发现学生难以将教师的形象化事例进行数学抽象，那这样的形象化教学的初衷就没有得到实现，需要教师进行更多的细节性处理.

还需要强调的是，教师对学生学习过程的判断有两个时段：一是课堂上的即时判断，即看自己的形象化教学设计有没有达到预期的目的，学生基于形象事例的数学抽象过程是否顺利. 这里特别要强调的是，关注不同层次的学生，切忌以少数优秀学生的思维过程代替对整个班级学生的判断，否则很容易产生学困生而教师并不知道；另一个就是根据学生在变式训练或者问题解决过程中的结果进行判断，变式之后的形象化场景学生能否有效地进行数学抽象，问题解决过程中学生能否用到新知学习时的数学抽象思路，都是判断形象化教学思路有效程度的重要依据.

综上所述，高中数学教学中，为了化解知识本身的抽象性，需要进行形象化教学. 只有这样，才能降低学习难度，从而提升学习效度.